三角関数例

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 10 = 7$

ステップ 1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 10 - 7 = 0$

ステップ 2

$10$ から $7$ を引きます。

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 3 = 0$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ で和が $b = 10$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$10$ を $10 \tan (θ)$ で因数分解します。

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 3 = 0$

ステップ 3.1.2

$10$ を $4$ プラス $6$ に書き換える

$8 \tan^{2} (θ) + (4 + 6) \tan (θ) + 3 = 0$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$8 \tan^{2} (θ) + 4 \tan (θ) + 6 \tan (θ) + 3 = 0$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$8 \tan^{2} (θ) + 4 \tan (θ) + 6 \tan (θ) + 3 = 0$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$4 \tan (θ) (2 \tan (θ) + 1) + 3 (2 \tan (θ) + 1) = 0$

ステップ 3.3

最大公約数 $2 \tan (θ) + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 \tan (θ) + 1) (4 \tan (θ) + 3) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 \tan (θ) + 1 = 0$

$4 \tan (θ) + 3 = 0$

ステップ 5

$2 \tan (θ) + 1$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 5.1

$2 \tan (θ) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \tan (θ) + 1 = 0$

ステップ 5.2

$θ$ について $2 \tan (θ) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \tan (θ) = - 1$

ステップ 5.2.2

$2 \tan (θ) = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2 \tan (θ) = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$\tan (θ)$ を $1$ で割ります。

$\tan (θ) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\tan (θ) = - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arctan (- \frac{1}{2})$

ステップ 5.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$\arctan (- \frac{1}{2})$ の値を求めます。

$θ = - 26.56505117$

ステップ 5.2.5

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$θ = - 26.56505117 - 180$

ステップ 5.2.6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

$360 °$ に $- 26.56505117 - 180 °$ をたし算します。

$θ = - 26.56505117 - 180 ° + 360 °$

ステップ 5.2.6.2

$153.43494882 °$ の結果の角度は正で $- 26.56505117 - 180$ と隣接します。

$θ = 153.43494882 °$

ステップ 5.2.7

$\tan (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.7.1

関数の期間は $\frac{180}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{180}{| b |}$

ステップ 5.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{180}{| 1 |}$

ステップ 5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{180}{1}$

ステップ 5.2.7.4

$180$ を $1$ で割ります。

$180$

ステップ 5.2.8

$180$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

$180$ を $- 26.56505117$ に足し、正の角を求めます。

$- 26.56505117 + 180$

ステップ 5.2.8.2

$180$ から $26.56505117$ を引きます。

$153.43494882$

ステップ 5.2.8.3

新しい角をリストします。

$θ = 153.43494882$

ステップ 5.2.9

$\tan (θ)$ 関数の周期が $180$ なので、両方向で $180$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 153.43494882 + 180 n, 153.43494882 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$4 \tan (θ) + 3$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 6.1

$4 \tan (θ) + 3$ が $0$ に等しいとします。

$4 \tan (θ) + 3 = 0$

ステップ 6.2

$θ$ について $4 \tan (θ) + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$4 \tan (θ) = - 3$

ステップ 6.2.2

$4 \tan (θ) = - 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$4 \tan (θ) = - 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{- 3}{4}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{- 3}{4}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$\tan (θ)$ を $1$ で割ります。

$\tan (θ) = \frac{- 3}{4}$

ステップ 6.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\tan (θ) = - \frac{3}{4}$

ステップ 6.2.3

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arctan (- \frac{3}{4})$

ステップ 6.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$\arctan (- \frac{3}{4})$ の値を求めます。

$θ = - 36.86989764$

ステップ 6.2.5

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$θ = - 36.86989764 - 180$

ステップ 6.2.6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.6.1

$360 °$ に $- 36.86989764 - 180 °$ をたし算します。

$θ = - 36.86989764 - 180 ° + 360 °$

ステップ 6.2.6.2

$143.13010235 °$ の結果の角度は正で $- 36.86989764 - 180$ と隣接します。

$θ = 143.13010235 °$

ステップ 6.2.7

$\tan (θ)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.1

関数の期間は $\frac{180}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{180}{| b |}$

ステップ 6.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{180}{| 1 |}$

ステップ 6.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{180}{1}$

ステップ 6.2.7.4

$180$ を $1$ で割ります。

$180$

ステップ 6.2.8

$180$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.1

$180$ を $- 36.86989764$ に足し、正の角を求めます。

$- 36.86989764 + 180$

ステップ 6.2.8.2

$180$ から $36.86989764$ を引きます。

$143.13010235$

ステップ 6.2.8.3

新しい角をリストします。

$θ = 143.13010235$

ステップ 6.2.9

$\tan (θ)$ 関数の周期が $180$ なので、両方向で $180$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 143.13010235 + 180 n, 143.13010235 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $(2 \tan (θ) + 1) (4 \tan (θ) + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = 153.43494882 + 180 n, 143.13010235 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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