三角関数例

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 = - 4 \sin (θ) + 9$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $4 \sin (θ)$ を足します。

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) = 9$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) - 9 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$- 17 \sin (θ)$ と $4 \sin (θ)$ をたし算します。

$6 \sin^{2} (θ) + 14 - 13 \sin (θ) - 9 = 0$

ステップ 2.2

$14$ から $9$ を引きます。

$6 \sin^{2} (θ) + 5 - 13 \sin (θ) = 0$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

項を並べ替えます。

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

ステップ 3.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 6 \cdot 5 = 30$ で和が $b = - 13$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.2.1

$- 13$ を $- 13 \sin (θ)$ で因数分解します。

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

ステップ 3.2.2

$- 13$ を $- 3$ プラス $- 10$ に書き換える

$6 \sin^{2} (θ) + (- 3 - 10) \sin (θ) + 5 = 0$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

ステップ 3.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

ステップ 3.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$3 \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) - 5 (2 \sin (θ) - 1) = 0$

ステップ 3.4

最大公約数 $2 \sin (θ) - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

ステップ 5

$2 \sin (θ) - 1$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 5.1

$2 \sin (θ) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

ステップ 5.2

$θ$ について $2 \sin (θ) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 \sin (θ) = 1$

ステップ 5.2.2

$2 \sin (θ) = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2 \sin (θ) = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$\sin (θ)$ を $1$ で割ります。

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 5.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $30$ です。

$θ = 30$

ステップ 5.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$θ = 180 - 30$

ステップ 5.2.6

$180$ から $30$ を引きます。

$θ = 150$

ステップ 5.2.7

$\sin (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.7.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 5.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 5.2.7.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 5.2.8

$\sin (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$3 \sin (θ) - 5$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 6.1

$3 \sin (θ) - 5$ が $0$ に等しいとします。

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

ステップ 6.2

$θ$ について $3 \sin (θ) - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$3 \sin (θ) = 5$

ステップ 6.2.2

$3 \sin (θ) = 5$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$3 \sin (θ) = 5$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$\sin (θ)$ を $1$ で割ります。

$\sin (θ) = \frac{5}{3}$

ステップ 6.2.3

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $\frac{5}{3}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 7

最終解は $(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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