三角関数例

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

ステップ 1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 2.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 2.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 2.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 2.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 2.4.6.5

指数を求めます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4

各解を求め、 $θ$ を解きます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $45$ です。

$θ = 45$

ステップ 5.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 360 - 45$

ステップ 5.4

$360$ から $45$ を引きます。

$θ = 315$

ステップ 5.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 5.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 5.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 5.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 5.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $135$ です。

$θ = 135$

ステップ 6.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$θ = 360 - 135$

ステップ 6.4

$360$ から $135$ を引きます。

$θ = 225$

ステップ 6.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 6.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 6.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 6.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 135 + 360 n, 225 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

すべての解をまとめます。

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

答えをまとめます。

$θ = 45 + 90 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例