三角関数例

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

ステップ 2

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\tan^{2} (x) + 1 + \cot^{2} (x)$

ステップ 3

正弦と余弦に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1 + \cot^{2} (x)$

ステップ 3.2

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 3.3

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 3.4

積の法則を $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5

分数をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ を掛けます。

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5.2

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1}$ に $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ をかけます。

$\frac{(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1) \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6

各項を簡約します。

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 7

$\sin^{2} (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8

分数をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を掛けます。

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8.2

$\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ に $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ をかけます。

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 9

$\cos^{2} (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{1}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 10

分数をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を掛けます。

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 10.2

$\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ に $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ をかけます。

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 10.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 11

指数を足して ${\cos (x)}^{2}$ に ${\cos (x)}^{2}$ を掛けます。

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 12

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + (1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{{\sin (x)}^{4} + (1 - {\cos (x)}^{2}) {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 13.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{{\sin (x)}^{4} + 1 {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 13.2.2

${\cos (x)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 13.2.3

指数を足して ${\cos (x)}^{2}$ に ${\cos (x)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.3.1

${\cos (x)}^{2}$ を移動させます。

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - ({\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}) + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 13.2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2 + 2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 13.2.3.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{4} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 13.2.4

$- {\cos (x)}^{4}$ と ${\cos (x)}^{4}$ をたし算します。

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} + 0}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 13.2.5

${\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 13.3

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ に $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{\sin^{4} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 14

ここで、方程式の右辺を考えます。

$\tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

ステップ 15

正弦と余弦に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

ステップ 15.2

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 15.3

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 15.4

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 16

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 17

分数をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ を掛けます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 17.2

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を掛けます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 17.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ に $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 17.3.2

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ に $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

ステップ 17.3.3

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 17.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 18

指数を足して ${\sin (x)}^{2}$ に ${\sin (x)}^{2}$ を掛けます。

$\frac{\sin^{4} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 19

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例