三角関数例

$2 \cos^{2} (2 θ) = 1 - \cos (2 θ)$

ステップ 1

$u$ を $\cos (2 θ)$ に代入します。

$2 {(u)}^{2} = 1 - (u)$

ステップ 2

方程式の両辺に $u$ を足します。

$2 u^{2} + u = 1$

ステップ 3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

ステップ 4

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$1$ を掛けます。

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

ステップ 4.1.2

$1$ を $- 1$ プラス $2$ に書き換える

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

ステップ 4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

ステップ 4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

ステップ 4.3

最大公約数 $2 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

ステップ 6

$2 u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 u - 1 = 0$

ステップ 6.2

$u$ について $2 u - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 u = 1$

ステップ 6.2.2

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{2}$

ステップ 7

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 8

最終解は $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{1}{2}, - 1$

ステップ 9

$\cos (2 θ)$ を $u$ に代入します。

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}, - 1$

ステップ 10

各解を求め、 $θ$ を解きます。

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 θ) = - 1$

ステップ 11

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$ の $θ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$2 θ = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 11.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $60$ です。

$2 θ = 60$

ステップ 11.3

$2 θ = 60$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$2 θ = 60$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

ステップ 11.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

ステップ 11.3.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{60}{2}$

ステップ 11.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.3.1

$60$ を $2$ で割ります。

$θ = 30$

ステップ 11.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$2 θ = 360 - 60$

ステップ 11.5

$θ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

$360$ から $60$ を引きます。

$2 θ = 300$

ステップ 11.5.2

$2 θ = 300$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.1

$2 θ = 300$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

ステップ 11.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

ステップ 11.5.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{300}{2}$

ステップ 11.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.3.1

$300$ を $2$ で割ります。

$θ = 150$

ステップ 11.6

$\cos (2 θ)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 11.6.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 2 |}$

ステップ 11.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{360}{2}$

ステップ 11.6.4

$360$ を $2$ で割ります。

$180$

ステップ 11.7

$\cos (2 θ)$ 関数の周期が $180$ なので、両方向で $180$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

$\cos (2 θ) = - 1$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 12.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$2 θ = \arccos (- 1)$

ステップ 12.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $180$ です。

$2 θ = 180$

ステップ 12.3

$2 θ = 180$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$2 θ = 180$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

ステップ 12.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

ステップ 12.3.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{180}{2}$

ステップ 12.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.3.1

$180$ を $2$ で割ります。

$θ = 90$

ステップ 12.4

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$2 θ = 360 - 180$

ステップ 12.5

$θ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1

$360$ から $180$ を引きます。

$2 θ = 180$

ステップ 12.5.2

$2 θ = 180$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.1

$2 θ = 180$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

ステップ 12.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

ステップ 12.5.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{180}{2}$

ステップ 12.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.3.1

$180$ を $2$ で割ります。

$θ = 90$

ステップ 12.6

$\cos (2 θ)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 12.6.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 2 |}$

ステップ 12.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{360}{2}$

ステップ 12.6.4

$360$ を $2$ で割ります。

$180$

ステップ 12.7

$\cos (2 θ)$ 関数の周期が $180$ なので、両方向で $180$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 90 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

すべての解をまとめます。

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n, 90 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14

答えをまとめます。

$θ = 30 + 60 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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