三角関数例

$8 \tan (x) \sin (x) = \sin (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $\sin (x)$ を引きます。

$8 \tan (x) \sin (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$8 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \sin (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 2.1.2

$8$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 2.1.3

$\frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.1.3.1

$\frac{8 \sin (x)}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{8 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

ステップ 2.1.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{8 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

ステップ 2.1.3.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{8 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

ステップ 2.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{8 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

ステップ 2.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{8 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{8 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

ステップ 2.2.2

分数を分解します。

$\frac{8 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

ステップ 2.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{8 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 2.2.4

$8 (\sin (x))$ を $1$ で割ります。

$8 \sin (x) \tan (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 3

$\sin (x)$ を $8 \sin (x) \tan (x) - \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$\sin (x)$ を $8 \sin (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) (8 \tan (x)) - \sin (x) = 0$

ステップ 3.2

$\sin (x)$ を $- \sin (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) (8 \tan (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

ステップ 3.3

$\sin (x)$ を $\sin (x) (8 \tan (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$\sin (x) (8 \tan (x) - 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$8 \tan (x) - 1 = 0$

ステップ 5

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = 180 - 0$

ステップ 5.2.4

$180$ から $0$ を引きます。

$x = 180$

ステップ 5.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 5.2.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 5.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$x = 360 n, 180 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$8 \tan (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$8 \tan (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$8 \tan (x) - 1 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $8 \tan (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$8 \tan (x) = 1$

ステップ 6.2.2

$8 \tan (x) = 1$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$8 \tan (x) = 1$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{1}{8}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{1}{8}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{1}{8}$

ステップ 6.2.3

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (\frac{1}{8})$

ステップ 6.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$\arctan (\frac{1}{8})$ の値を求めます。

$x = 7.12501634$

ステップ 6.2.5

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 180 + 7.12501634$

ステップ 6.2.6

$180$ と $7.12501634$ をたし算します。

$x = 187.12501634$

ステップ 6.2.7

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.2.7.1

関数の期間は $\frac{180}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{180}{| b |}$

ステップ 6.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{180}{| 1 |}$

ステップ 6.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{180}{1}$

ステップ 6.2.7.4

$180$ を $1$ で割ります。

$180$

ステップ 6.2.8

$\tan (x)$ 関数の周期が $180$ なので、両方向で $180$ 度ごとに値を繰り返します。

$x = 7.12501634 + 180 n, 187.12501634 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $\sin (x) (8 \tan (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 360 n, 180 + 360 n, 7.12501634 + 180 n, 187.12501634 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

答えをまとめます。

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ステップ 8.1

$180 + 360 n$ と $180 n$ を $360 n$ にまとめます。

$x = 180 n, 7.12501634 + 180 n, 187.12501634 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.2

$187.12501634 + 180 n$ と $7.12501634 + 180 n$ を $7.12501634 + 180 n$ にまとめます。

$x = 180 n, 7.12501634 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例