三角関数例

$\frac{6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

ステップ 1

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$3$ を $6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

ステップ 1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})}$

ステップ 2

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i}$ の分子と分母に $0.8660254 + 0.5 i$ の共役を掛け、分母を実数にします。

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i} \cdot \frac{0.8660254 - 0.5 i}{0.8660254 - 0.5 i}$

ステップ 3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

まとめる。

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.1.3

$i$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.5

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (0.8660254 - 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1.1

$0.8660254$ に $1$ をかけます。

$\frac{0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.6.1.2

$- 0.5 i$ に $1$ をかけます。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.6.1.3

$0.8660254$ に $\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \cdot 1.5 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.6.1.4

$1.5$ を $i$ の左に移動させます。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 \cdot i + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.6.1.5

$i \sqrt{3} (- 0.5 i)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1.5.1

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.6.1.5.2

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i^{1}))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.6.1.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{1 + 1})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.6.1.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{2})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.6.1.5.5

$- 0.5$ に $\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 i^{2}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.6.1.6

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 \cdot - 1}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.6.1.7

$- 0.8660254$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + 0.8660254}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.6.2

$0.8660254$ と $0.8660254$ をたし算します。

$\frac{1.7320508 - 0.5 i + 1.5 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.2.6.3

$- 0.5 i$ と $1.5 i$ をたし算します。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 (0.8660254 - 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.3.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

ステップ 3.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$0.8660254$ に $0.8660254$ をかけます。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

ステップ 3.3.2.2

$- 0.5$ に $0.8660254$ をかけます。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

ステップ 3.3.2.3

$0.8660254$ に $0.5$ をかけます。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

ステップ 3.3.2.4

$- 0.5$ に $0.5$ をかけます。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i i}$

ステップ 3.3.2.5

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i)}$

ステップ 3.3.2.6

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

ステップ 3.3.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{1 + 1}}$

ステップ 3.3.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{2}}$

ステップ 3.3.2.9

$- 0.4330127 i$ と $0.4330127 i$ をたし算します。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 i - 0.25 i^{2}}$

ステップ 3.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$0$ に $i$ をかけます。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 i^{2}}$

ステップ 3.3.3.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.3.3

$- 0.25$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 + 0.25}$

ステップ 3.3.4

$0.75$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.25}$

ステップ 3.3.5

$0.75$ と $0.25$ をたし算します。

$\frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

ステップ 4

$1.7320508$ を $1 (1.7320508)$ に書き換えます。

$\frac{1 (1.7320508) + 1 i}{1}$

ステップ 5

$1$ を $1 i$ で因数分解します。

$\frac{1 (1.7320508) + 1 (1 i)}{1}$

ステップ 6

$1$ を $1 (1.7320508) + 1 (1 i)$ で因数分解します。

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1}$

ステップ 7

$1$ を $1$ で因数分解します。

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1 (1)}$

ステップ 8

分数を分解します。

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

ステップ 9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$1$ を $1$ で割ります。

$1 \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

ステップ 9.2

$1.7320508 + 1 i$ を $1$ で割ります。

$1 (1.7320508 + 1 i)$

ステップ 10

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1.7320508 + 1 (1 i)$

ステップ 11

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$1$ に $1.7320508$ をかけます。

$1.7320508 + 1 (1 i)$

ステップ 11.2

$1$ に $1$ をかけます。

$1.7320508 + 1 i$

ステップ 12

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 13

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 14

$a = 1.7320508$ と $b = 1$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{1^{2} + {1.7320508}^{2}}$

ステップ 15

$| z |$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$1$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{1 + {1.7320508}^{2}}$

ステップ 15.2

$1.7320508$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{1 + 3}$

ステップ 15.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{4}$

ステップ 15.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

ステップ 15.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 2$

ステップ 16

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{1}{1.7320508})$

ステップ 17

$\frac{1}{1.7320508}$ の逆正接が第一象限で角を作るので、角の値は $\frac{π}{6}$ です。

$θ = \frac{π}{6}$

ステップ 18

$θ = \frac{π}{6}$ と $| z | = 2$ の値を代入します。

$2 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

三角関数 例

三角関数例