三角関数例

{sec}^{2} (θ) - 6 sec (θ) + 8 = 0

$\sec^{2} (θ) - 6 \sec (θ) + 8 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

u = sec (θ)

$u = \sec (θ)$ とします。

u

$u$ を

sec (θ)

$\sec (θ)$ に代入します。

u^{2} - 6 u + 8 = 0

$u^{2} - 6 u + 8 = 0$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して

u^{2} - 6 u + 8

$u^{2} - 6 u + 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が

c

$c$ で和が

b

$b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が

8

$8$ で、その和が

- 6

$- 6$ です。

- 4, - 2

$- 4, - 2$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

(u - 4) (u - 2) = 0

$(u - 4) (u - 2) = 0$

(u - 4) (u - 2) = 0

$(u - 4) (u - 2) = 0$

ステップ 1.3

u

$u$ のすべての発生を

sec (θ)

$\sec (θ)$ で置き換えます。

(sec (θ) - 4) (sec (θ) - 2) = 0

$(\sec (θ) - 4) (\sec (θ) - 2) = 0$

(sec (θ) - 4) (sec (θ) - 2) = 0

$(\sec (θ) - 4) (\sec (θ) - 2) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が

0

$0$ と等しいならば、式全体は

0

$0$ と等しくなります。

sec (θ) - 4 = 0

$\sec (θ) - 4 = 0$

sec (θ) - 2 = 0

$\sec (θ) - 2 = 0$

ステップ 3

sec (θ) - 4

$\sec (θ) - 4$ を

0

$0$ に等しくし、

θ

$θ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

sec (θ) - 4

$\sec (θ) - 4$ が

0

$0$ に等しいとします。

sec (θ) - 4 = 0

$\sec (θ) - 4 = 0$

ステップ 3.2

θ

$θ$ について

sec (θ) - 4 = 0

$\sec (θ) - 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺に

4

$4$ を足します。

sec (θ) = 4

$\sec (θ) = 4$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から

θ

$θ$ を取り出します。

θ = arcsec (4)

$θ = arcsec (4)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

arcsec (4)

$arcsec (4)$ の値を求めます。

θ = 75.52248781

$θ = 75.52248781$

θ = 75.52248781

$θ = 75.52248781$

ステップ 3.2.4

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、

360

$360$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

θ = 360 - 75.52248781

$θ = 360 - 75.52248781$

ステップ 3.2.5

360

$360$ から

75.52248781

$75.52248781$ を引きます。

θ = 284.47751218

$θ = 284.47751218$

ステップ 3.2.6

sec (θ)

$\sec (θ)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

関数の期間は

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 3.2.6.2

周期の公式の

b

$b$ を

1

$1$ で置き換えます。

\frac{360}{| 1 |}

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 3.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。

0

$0$ と

1

$1$ の間の距離は

1

$1$ です。

\frac{360}{1}

$\frac{360}{1}$

ステップ 3.2.6.4

360

$360$ を

1

$1$ で割ります。

360

$360$

360

$360$

ステップ 3.2.7

sec (θ)

$\sec (θ)$ 関数の周期が

360

$360$ なので、両方向で

360

$360$ 度ごとに値を繰り返します。

θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ 、任意の整数

$n$

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ 、任意の整数

$n$

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 4

$\sec (θ) - 2$ を

$0$ に等しくし、

$θ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sec (θ) - 2$ が

$0$ に等しいとします。

$\sec (θ) - 2 = 0$

ステップ 4.2

$θ$ について

$\sec (θ) - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺に

$2$ を足します。

$\sec (θ) = 2$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から

$θ$ を取り出します。

$θ = arcsec (2)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$arcsec (2)$ の厳密値は

$60$ です。

$θ = 60$

ステップ 4.2.4

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、

$360$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 360 - 60$

ステップ 4.2.5

$360$ から

$60$ を引きます。

$θ = 300$

ステップ 4.2.6

$\sec (θ)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

関数の期間は

$\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$360$ を

$1$ で割ります。

$360$

ステップ 4.2.7

$\sec (θ)$ 関数の周期が

$360$ なので、両方向で

$360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ 、任意の整数

$n$

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ 、任意の整数

$n$

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 5

最終解は

$(\sec (θ) - 4) (\sec (θ) - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n, 60 + 360 n, 300 + 360 n$ 、任意の整数

$n$

三角関数 例

三角関数例