三角関数例

$\sec^{2} (θ) - 9 \sec (θ) + 20 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = \sec (θ)$ とします。 $u$ を $\sec (θ)$ に代入します。

$u^{2} - 9 u + 20 = 0$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $u^{2} - 9 u + 20$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $20$ で、その和が $- 9$ です。

$- 5, - 4$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 5) (u - 4) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\sec (θ)$ で置き換えます。

$(\sec (θ) - 5) (\sec (θ) - 4) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sec (θ) - 5 = 0$

$\sec (θ) - 4 = 0$

ステップ 3

$\sec (θ) - 5$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\sec (θ) - 5$ が $0$ に等しいとします。

$\sec (θ) - 5 = 0$

ステップ 3.2

$θ$ について $\sec (θ) - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$\sec (θ) = 5$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $θ$ を取り出します。

$θ = arcsec (5)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$arcsec (5)$ の値を求めます。

$θ = 78.46304096$

ステップ 3.2.4

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 360 - 78.46304096$

ステップ 3.2.5

$360$ から $78.46304096$ を引きます。

$θ = 281.53695903$

ステップ 3.2.6

$\sec (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.6.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 3.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 3.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 3.2.6.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 3.2.7

$\sec (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 78.46304096 + 360 n, 281.53695903 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\sec (θ) - 4$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\sec (θ) - 4$ が $0$ に等しいとします。

$\sec (θ) - 4 = 0$

ステップ 4.2

$θ$ について $\sec (θ) - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$\sec (θ) = 4$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $θ$ を取り出します。

$θ = arcsec (4)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$arcsec (4)$ の値を求めます。

$θ = 75.52248781$

ステップ 4.2.4

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 360 - 75.52248781$

ステップ 4.2.5

$360$ から $75.52248781$ を引きます。

$θ = 284.47751218$

ステップ 4.2.6

$\sec (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.6.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 4.2.7

$\sec (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

最終解は $(\sec (θ) - 5) (\sec (θ) - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = 78.46304096 + 360 n, 281.53695903 + 360 n, 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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