三角関数例

$\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

ステップ 1

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 2

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 3

$a = \frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ と $b = 0$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}$

ステップ 4

$| z |$ を求めます。

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ステップ 4.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}$

ステップ 4.2

積の法則を $\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{\sin^{2} (2 x)}}$

ステップ 4.3

$1$ を掛けます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{\sin^{2} (2 x) \cdot 1}}$

ステップ 4.4

分数を分解します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (2 x)}}$

ステップ 4.5

$\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ を $\csc^{2} (2 x)$ に変換します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{1} \cdot \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.6

式を簡約します。

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ステップ 4.6.1

${(1 - \cos (2 x))}^{2}$ を $1$ で割ります。

$| z | = \sqrt{0 + {(1 - \cos (2 x))}^{2} \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.6.2

${(1 - \cos (2 x))}^{2}$ を $(1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.7

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))$ を展開します。

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ステップ 4.7.1

分配則を当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.7.2

分配則を当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.7.3

分配則を当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.8

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.8.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.8.1.2

$- \cos (2 x)$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.8.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.8.1.4

$- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ を掛けます。

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ステップ 4.8.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.8.1.4.2

$\cos (2 x)$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.8.1.4.3

$\cos (2 x)$ を $1$ 乗します。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.8.1.4.4

$\cos (2 x)$ を $1$ 乗します。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.8.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1}) \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.8.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos^{2} (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.8.2

$- \cos (2 x)$ から $\cos (2 x)$ を引きます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 - 2 \cos (2 x) + \cos^{2} (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.9

分配則を当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + 1 \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.10

簡約します。

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ステップ 4.10.1

$\csc^{2} (2 x)$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \csc^{2} (2 x)}$

ステップ 4.10.2

正弦と余弦に関して $\csc (2 x)$ を書き換えます。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) {(\frac{1}{\sin (2 x)})}^{2}}$

ステップ 4.10.3

積の法則を $\frac{1}{\sin (2 x)}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 x)})}$

ステップ 4.10.4

1のすべての数の累乗は1です。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (\frac{1}{\sin^{2} (2 x)})}$

ステップ 4.10.5

$\cos^{2} (2 x)$ と $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ をまとめます。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}$

ステップ 4.11

$\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}$ を $\cot^{2} (2 x)$ に変換します。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$

ステップ 4.12

$0$ と $\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$

ステップ 5

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})$

ステップ 6

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})$ と $| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$ の値を代入します。

$\sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)} (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})))$

三角関数 例

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