三角関数例

$- \frac{1}{1 + i}$

ステップ 1

$\frac{1}{1 + 1 i}$ の分子と分母に $1 + 1 i$ の共役を掛け、分母を実数にします。

$- (\frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i})$

ステップ 2

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

まとめる。

$- \frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

ステップ 2.2

$1 - i$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

ステップ 2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + 1 i) (1 - i)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

ステップ 2.3.1.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

ステップ 2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

ステップ 2.3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

ステップ 2.3.2.3

$1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

ステップ 2.3.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

ステップ 2.3.2.5

$i$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

ステップ 2.3.2.6

$i$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

ステップ 2.3.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

ステップ 2.3.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

ステップ 2.3.2.9

$- 1 i$ と $1 i$ をたし算します。

$- \frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}}$

ステップ 2.3.2.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1 - i}{1 - i^{2}}$

ステップ 2.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$- \frac{1 - i}{1 - - 1}$

ステップ 2.3.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1 - i}{1 + 1}$

ステップ 2.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1 - i}{2}$

ステップ 3

分数 $\frac{1 - i}{2}$ を2つの分数に分割します。

$- (\frac{1}{2} + \frac{- i}{2})$

ステップ 4

分数の前に負数を移動させます。

$- (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$

ステップ 5

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{2} - - \frac{i}{2}$

ステップ 6

$- - \frac{i}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} + 1 \frac{i}{2}$

ステップ 6.2

$\frac{i}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

ステップ 7

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 8

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 9

$a = - \frac{1}{2}$ と $b = \frac{1}{2}$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 10

$| z |$ を求めます。

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ステップ 10.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 10.2

1のすべての数の累乗は1です。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 10.3

$2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 10.4

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 10.4.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 10.4.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 10.5

式を簡約します。

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ステップ 10.5.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 10.5.2

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 10.5.3

1のすべての数の累乗は1です。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

ステップ 10.5.4

$2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

ステップ 10.5.5

公分母の分子をまとめます。

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

ステップ 10.5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{\frac{2}{4}}$

ステップ 10.6

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.6.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$| z | = \sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

ステップ 10.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.6.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 10.6.2.2

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 10.6.2.3

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 10.7

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 10.8

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 10.9

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 10.10

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 10.10.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 10.10.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 10.10.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 10.10.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 10.10.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 10.10.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 10.10.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 10.10.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 10.10.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 10.10.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.10.6.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 10.10.6.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 10.10.6.5

指数を求めます。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 11

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}})$

ステップ 12

$\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}}$ の逆正接が第二象限で角を作るので、角の値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$θ = \frac{3 π}{4}$

ステップ 13

$θ = \frac{3 π}{4}$ と $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の値を代入します。

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))}$

三角関数 例

三角関数例