三角関数例

$\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$

ステップ 1

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 2

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 3

$a = \frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ と $b = 0$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

ステップ 4

$| z |$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

ステップ 4.2

積の法則を $\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y)}}$

ステップ 4.3

$1$ を掛けます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y) \cdot 1}}$

ステップ 4.4

分数を分解します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (2 y)}}$

ステップ 4.5

$\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ を $\csc^{2} (2 y)$ に変換します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \csc^{2} (2 y)}$

ステップ 4.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ を $1$ で割ります。

$| z | = \sqrt{0 + {(1 + \cos (2 y))}^{2} \csc^{2} (2 y)}$

ステップ 4.6.2

${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ を $(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

ステップ 4.7

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

分配則を当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 + \cos (2 y)) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

ステップ 4.7.2

分配則を当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

ステップ 4.7.3

分配則を当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

ステップ 4.8

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

ステップ 4.8.1.2

$\cos (2 y)$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

ステップ 4.8.1.3

$\cos (2 y)$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

ステップ 4.8.1.4

$\cos (2 y) \cos (2 y)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.4.1

$\cos (2 y)$ を $1$ 乗します。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

ステップ 4.8.1.4.2

$\cos (2 y)$ を $1$ 乗します。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

ステップ 4.8.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + {\cos (2 y)}^{1 + 1}) \csc^{2} (2 y)}$

ステップ 4.8.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

ステップ 4.8.2

$\cos (2 y)$ と $\cos (2 y)$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 2 \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

ステップ 4.9

分配則を当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + 1 \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

ステップ 4.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.1

$\csc^{2} (2 y)$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

ステップ 4.10.2

正弦と余弦に関して $\csc (2 y)$ を書き換えます。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) {(\frac{1}{\sin (2 y)})}^{2}}$

ステップ 4.10.3

積の法則を $\frac{1}{\sin (2 y)}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 y)})}$

ステップ 4.10.4

1のすべての数の累乗は1です。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1}{\sin^{2} (2 y)})}$

ステップ 4.10.5

$\cos^{2} (2 y)$ と $\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ をまとめます。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}}$

ステップ 4.11

$\frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}$ を $\cot^{2} (2 y)$ に変換します。

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

ステップ 4.12

$0$ と $\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

ステップ 4.13

因数分解した形で $\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ を書き換えます。

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ステップ 4.13.1

中項を書き換えます。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + 0 + \cot^{2} (2 y)}$

ステップ 4.13.2

項を並べ替えます。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

ステップ 4.13.3

最初の3項を完全平方式で因数分解します。

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2} + 0}$

ステップ 4.13.4

${(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}$ を $(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

ステップ 4.13.5

分配法則（FOIL法）を使って $(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ を展開します。

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ステップ 4.13.5.1

分配則を当てはめます。

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

ステップ 4.13.5.2

分配則を当てはめます。

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

ステップ 4.13.5.3

分配則を当てはめます。

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

ステップ 4.13.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.13.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.13.6.1.1

$\csc (2 y) \csc (2 y)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.13.6.1.1.1

$\csc (2 y)$ を $1$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

ステップ 4.13.6.1.1.2

$\csc (2 y)$ を $1$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

ステップ 4.13.6.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$| z | = \sqrt{{\csc (2 y)}^{1 + 1} + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

ステップ 4.13.6.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

ステップ 4.13.6.1.2

$\cot (2 y) \cot (2 y)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.13.6.1.2.1

$\cot (2 y)$ を $1$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

ステップ 4.13.6.1.2.2

$\cot (2 y)$ を $1$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

ステップ 4.13.6.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + {\cot (2 y)}^{1 + 1} + 0}$

ステップ 4.13.6.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

ステップ 4.13.6.2

$\csc (2 y) \cot (2 y)$ の因数を並べ替えます。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

ステップ 4.13.6.3

$\cot (2 y) \csc (2 y)$ と $\cot (2 y) \csc (2 y)$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

ステップ 4.13.7

$\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ と $0$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

ステップ 4.13.8

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.13.8.1

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 \cot (2 y) \csc (2 y) = 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y)$

ステップ 4.13.8.2

多項式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

ステップ 4.13.8.3

$a = \csc (2 y)$ と $b = \cot (2 y)$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}}$

ステップ 4.14

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$

ステップ 5

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$

ステップ 6

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$ と $| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$ の値を代入します。

$\csc (2 y) + \cot (2 y) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})))$

三角関数 例

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