三角関数例

$2 \cos^{2} (θ) + \cos (θ) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = \cos (θ)$ とします。 $u$ を $\cos (θ)$ に代入します。

$2 u^{2} + u = 0$

ステップ 1.2

$u$ を $2 u^{2} + u$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$u$ を $2 u^{2}$ で因数分解します。

$u (2 u) + u = 0$

ステップ 1.2.2

$u$ を $1$ 乗します。

$u (2 u) + u = 0$

ステップ 1.2.3

$u$ を $u^{1}$ で因数分解します。

$u (2 u) + u \cdot 1 = 0$

ステップ 1.2.4

$u$ を $u (2 u) + u \cdot 1$ で因数分解します。

$u (2 u + 1) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\cos (θ)$ で置き換えます。

$\cos (θ) (2 \cos (θ) + 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (θ) = 0$

$2 \cos (θ) + 1 = 0$

ステップ 3

$\cos (θ)$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\cos (θ)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (θ) = 0$

ステップ 3.2

$θ$ について $\cos (θ) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (0)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$θ = \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 3.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 3.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$θ = \frac{3 π}{2}$

ステップ 3.2.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.2.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$2 \cos (θ) + 1$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 4.1

$2 \cos (θ) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \cos (θ) + 1 = 0$

ステップ 4.2

$θ$ について $2 \cos (θ) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \cos (θ) = - 1$

ステップ 4.2.2

$2 \cos (θ) = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$2 \cos (θ) = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$\cos (θ)$ を $1$ で割ります。

$\cos (θ) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

ステップ 4.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$θ = \frac{2 π}{3}$

ステップ 4.2.5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

ステップ 4.2.6

$2 π - \frac{2 π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 4.2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.6.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 4.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 4.2.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.6.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

ステップ 4.2.6.3.2

$6 π$ から $2 π$ を引きます。

$θ = \frac{4 π}{3}$

ステップ 4.2.7

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.8

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

最終解は $\cos (θ) (2 \cos (θ) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ と $\frac{π}{2} + π n$ を $\frac{π}{2} + 2 π n$ にまとめます。

$θ = \frac{π}{2} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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