三角関数例

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = \cos (θ)$ とします。 $u$ を $\cos (θ)$ に代入します。

$u^{2} - u = 0$

ステップ 1.2

$u$ を $u^{2} - u$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$u \cdot u - u = 0$

ステップ 1.2.2

$u$ を $- u$ で因数分解します。

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

ステップ 1.2.3

$u$ を $u \cdot u + u \cdot - 1$ で因数分解します。

$u (u - 1) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\cos (θ)$ で置き換えます。

$\cos (θ) (\cos (θ) - 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (θ) = 0$

$\cos (θ) - 1 = 0$

ステップ 3

$\cos (θ)$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\cos (θ)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (θ) = 0$

ステップ 3.2

$θ$ について $\cos (θ) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (0)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $90$ です。

$θ = 90$

ステップ 3.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 360 - 90$

ステップ 3.2.4

$360$ から $90$ を引きます。

$θ = 270$

ステップ 3.2.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 3.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 3.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 3.2.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 3.2.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\cos (θ) - 1$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\cos (θ) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (θ) - 1 = 0$

ステップ 4.2

$θ$ について $\cos (θ) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\cos (θ) = 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (1)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$θ = 0$

ステップ 4.2.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 360 - 0$

ステップ 4.2.5

$360$ から $0$ を引きます。

$θ = 360$

ステップ 4.2.6

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.6.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 4.2.7

$\cos (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 360 n, 360 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

最終解は $\cos (θ) (\cos (θ) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 360 n, 360 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

答えをまとめます。

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ステップ 6.1

$270 + 360 n$ と $90 + 180 n$ を $90 + 360 n$ にまとめます。

$θ = 90 + 180 n, 360 n, 360 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2

$360 + 360 n$ と $360 n$ を $360 n$ にまとめます。

$θ = 90 + 180 n, 360 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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