三角関数例

$\cot^{2} (θ) - 6 \cot (θ) + 8 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = \cot (θ)$ とします。 $u$ を $\cot (θ)$ に代入します。

$u^{2} - 6 u + 8 = 0$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $u^{2} - 6 u + 8$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $8$ で、その和が $- 6$ です。

$- 4, - 2$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 4) (u - 2) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\cot (θ)$ で置き換えます。

$(\cot (θ) - 4) (\cot (θ) - 2) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cot (θ) - 4 = 0$

$\cot (θ) - 2 = 0$

ステップ 3

$\cot (θ) - 4$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\cot (θ) - 4$ が $0$ に等しいとします。

$\cot (θ) - 4 = 0$

ステップ 3.2

$θ$ について $\cot (θ) - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$\cot (θ) = 4$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $θ$ を取り出します。

$θ = arccot (4)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$arccot (4)$ の値を求めます。

$θ = 14.03624346$

ステップ 3.2.4

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 180 + 14.03624346$

ステップ 3.2.5

$180$ と $14.03624346$ をたし算します。

$θ = 194.03624346$

ステップ 3.2.6

$\cot (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.6.1

関数の期間は $\frac{180}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{180}{| b |}$

ステップ 3.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{180}{| 1 |}$

ステップ 3.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{180}{1}$

ステップ 3.2.6.4

$180$ を $1$ で割ります。

$180$

ステップ 3.2.7

$\cot (θ)$ 関数の周期が $180$ なので、両方向で $180$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 14.03624346 + 180 n, 194.03624346 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\cot (θ) - 2$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\cot (θ) - 2$ が $0$ に等しいとします。

$\cot (θ) - 2 = 0$

ステップ 4.2

$θ$ について $\cot (θ) - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\cot (θ) = 2$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $θ$ を取り出します。

$θ = arccot (2)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$arccot (2)$ の値を求めます。

$θ = 26.56505117$

ステップ 4.2.4

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 180 + 26.56505117$

ステップ 4.2.5

$180$ と $26.56505117$ をたし算します。

$θ = 206.56505117$

ステップ 4.2.6

$\cot (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.6.1

関数の期間は $\frac{180}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{180}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{180}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{180}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$180$ を $1$ で割ります。

$180$

ステップ 4.2.7

$\cot (θ)$ 関数の周期が $180$ なので、両方向で $180$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

最終解は $(\cot (θ) - 4) (\cot (θ) - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = 14.03624346 + 180 n, 194.03624346 + 180 n, 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

答えをまとめます。

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ステップ 6.1

$194.03624346 + 180 n$ と $14.03624346 + 180 n$ を $14.03624346 + 180 n$ にまとめます。

$θ = 14.03624346 + 180 n, 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2

$206.56505117 + 180 n$ と $26.56505117 + 180 n$ を $26.56505117 + 180 n$ にまとめます。

$θ = 14.03624346 + 180 n, 26.56505117 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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