三角関数例

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x)$

ステップ 1

式を簡約します。

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ステップ 1.1

$\sin^{4} (x)$ を ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

${(\sin^{2} (x))}^{2} - \cos^{4} (x)$

ステップ 1.2

$\cos^{4} (x)$ を ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

${(\sin^{2} (x))}^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}$

ステップ 2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \sin^{2} (x)$ であり、 $b = \cos^{2} (x)$ です。

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

ステップ 3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$1 (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

ステップ 4

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

ステップ 5

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 6

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 7

$a = \sin^{2} (x)$ と $b = - 1 \cos^{2} (x)$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(- 1 \cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

ステップ 8

$| z |$ を求めます。

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ステップ 8.1

$- 1 \cos^{2} (x)$ を $- \cos^{2} (x)$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{{(- \cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

ステップ 8.2

積の法則を $- \cos^{2} (x)$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

ステップ 8.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{1 {(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

ステップ 8.4

${(\cos^{2} (x))}^{2}$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{{(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

ステップ 8.5

${(\cos^{2} (x))}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \sqrt{{\cos (x)}^{2 \cdot 2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

ステップ 8.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

ステップ 8.6

${(\sin^{2} (x))}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + {\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 8.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}$

ステップ 9

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})$

ステップ 10

$θ = \arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})$ と $| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}$ の値を代入します。

$\sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)} (\cos (\arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})) + i \sin (\arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})))$

三角関数 例

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