三角関数例

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 2 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = \sin (θ)$ とします。 $u$ を $\sin (θ)$ に代入します。

$u^{2} + u - 2 = 0$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $u^{2} + u - 2$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 1) (u + 2) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (θ)$ で置き換えます。

$(\sin (θ) - 1) (\sin (θ) + 2) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (θ) - 1 = 0$

$\sin (θ) + 2 = 0$

ステップ 3

$\sin (θ) - 1$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\sin (θ) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (θ) - 1 = 0$

ステップ 3.2

$θ$ について $\sin (θ) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\sin (θ) = 1$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arcsin (1)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $90$ です。

$θ = 90$

ステップ 3.2.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$θ = 180 - 90$

ステップ 3.2.5

$180$ から $90$ を引きます。

$θ = 90$

ステップ 3.2.6

$\sin (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.6.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 3.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 3.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 3.2.6.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 3.2.7

$\sin (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 90 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\sin (θ) + 2$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\sin (θ) + 2$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (θ) + 2 = 0$

ステップ 4.2

$θ$ について $\sin (θ) + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\sin (θ) = - 2$

ステップ 4.2.2

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- 2$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 5

最終解は $(\sin (θ) - 1) (\sin (θ) + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = 90 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例