三角関数例

$3 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 1$

ステップ 1

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$3 {(u)}^{2} - (u) = 1$

ステップ 2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 u^{2} - u - 1 = 0$

ステップ 3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4

$a = 3$ 、 $b = - 1$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.1.2.2

$- 12$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.1.3

$1$ と $12$ をたし算します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

ステップ 6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.1.2.2

$- 12$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.1.3

$1$ と $12$ をたし算します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

ステップ 6.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

ステップ 7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 7.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 7.1.2.2

$- 12$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 7.1.3

$1$ と $12$ をたし算します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

ステップ 7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

ステップ 7.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$u = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

ステップ 8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

ステップ 9

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

ステップ 10

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

ステップ 11

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 11.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$

ステップ 11.2

右辺を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$ の値を求めます。

$x = 50.13813146$

ステップ 11.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = 180 - 50.13813146$

ステップ 11.4

$180$ から $50.13813146$ を引きます。

$x = 129.86186853$

ステップ 11.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 11.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 11.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 11.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 11.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 11.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$x = 50.13813146 + 360 n, 129.86186853 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 12.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$

ステップ 12.2

右辺を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$\arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$ の値を求めます。

$x = - 25.73812338$

ステップ 12.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = 180 + 25.73812338$

ステップ 12.4

$180$ と $25.73812338$ をたし算します。

$x = 205.73812338$

ステップ 12.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 12.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 12.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 12.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 12.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 12.6

$360$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 12.6.1

$360$ を $- 25.73812338$ に足し、正の角を求めます。

$- 25.73812338 + 360$

ステップ 12.6.2

$360$ から $25.73812338$ を引きます。

$334.26187661$

ステップ 12.6.3

新しい角をリストします。

$x = 334.26187661$

ステップ 12.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$x = 205.73812338 + 360 n, 334.26187661 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

すべての解をまとめます。

$x = 50.13813146 + 360 n, 129.86186853 + 360 n, 205.73812338 + 360 n, 334.26187661 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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