三角関数例

$\tan^{2} (θ) + 5 \tan (θ) + 6 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = \tan (θ)$ とします。 $u$ を $\tan (θ)$ に代入します。

$u^{2} + 5 u + 6 = 0$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $u^{2} + 5 u + 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $5$ です。

$2, 3$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u + 2) (u + 3) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\tan (θ)$ で置き換えます。

$(\tan (θ) + 2) (\tan (θ) + 3) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan (θ) + 2 = 0$

$\tan (θ) + 3 = 0$

ステップ 3

$\tan (θ) + 2$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\tan (θ) + 2$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (θ) + 2 = 0$

ステップ 3.2

$θ$ について $\tan (θ) + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\tan (θ) = - 2$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arctan (- 2)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$\arctan (- 2)$ の値を求めます。

$θ = - 63.43494882$

ステップ 3.2.4

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$θ = - 63.43494882 - 180$

ステップ 3.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 3.2.5.1

$360 °$ に $- 63.43494882 - 180 °$ をたし算します。

$θ = - 63.43494882 - 180 ° + 360 °$

ステップ 3.2.5.2

$116.56505117 °$ の結果の角度は正で $- 63.43494882 - 180$ と隣接します。

$θ = 116.56505117 °$

ステップ 3.2.6

$\tan (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.6.1

関数の期間は $\frac{180}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{180}{| b |}$

ステップ 3.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{180}{| 1 |}$

ステップ 3.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{180}{1}$

ステップ 3.2.6.4

$180$ を $1$ で割ります。

$180$

ステップ 3.2.7

$180$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 3.2.7.1

$180$ を $- 63.43494882$ に足し、正の角を求めます。

$- 63.43494882 + 180$

ステップ 3.2.7.2

$180$ から $63.43494882$ を引きます。

$116.56505117$

ステップ 3.2.7.3

新しい角をリストします。

$θ = 116.56505117$

ステップ 3.2.8

$\tan (θ)$ 関数の周期が $180$ なので、両方向で $180$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 116.56505117 + 180 n, 116.56505117 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\tan (θ) + 3$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\tan (θ) + 3$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (θ) + 3 = 0$

ステップ 4.2

$θ$ について $\tan (θ) + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$\tan (θ) = - 3$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arctan (- 3)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$\arctan (- 3)$ の値を求めます。

$θ = - 71.56505117$

ステップ 4.2.4

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$θ = - 71.56505117 - 180$

ステップ 4.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 4.2.5.1

$360 °$ に $- 71.56505117 - 180 °$ をたし算します。

$θ = - 71.56505117 - 180 ° + 360 °$

ステップ 4.2.5.2

$108.43494882 °$ の結果の角度は正で $- 71.56505117 - 180$ と隣接します。

$θ = 108.43494882 °$

ステップ 4.2.6

$\tan (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.6.1

関数の期間は $\frac{180}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{180}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{180}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{180}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$180$ を $1$ で割ります。

$180$

ステップ 4.2.7

$180$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 4.2.7.1

$180$ を $- 71.56505117$ に足し、正の角を求めます。

$- 71.56505117 + 180$

ステップ 4.2.7.2

$180$ から $71.56505117$ を引きます。

$108.43494882$

ステップ 4.2.7.3

新しい角をリストします。

$θ = 108.43494882$

ステップ 4.2.8

$\tan (θ)$ 関数の周期が $180$ なので、両方向で $180$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 108.43494882 + 180 n, 108.43494882 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

最終解は $(\tan (θ) + 2) (\tan (θ) + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = 116.56505117 + 180 n, 108.43494882 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例