三角関数例

$\cot (θ) + \csc (θ) = \frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$

ステップ 1

右辺から始めます。

$\frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

商の恒等式を利用して $\tan (θ)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \tan (θ)}$

ステップ 2.2

商の恒等式を利用して $\tan (θ)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\sin (θ)$ を $\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

ステップ 3.1.1.2

$\sin (θ)$ を $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ で因数分解します。

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

ステップ 3.1.1.3

$\sin (θ)$ を $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}$ で因数分解します。

$\frac{\sin (θ) (1 + \frac{1}{\cos (θ)})}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

ステップ 3.1.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\sin (θ) (\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)})}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

ステップ 3.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

ステップ 3.2

$\sin (θ)$ と $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ をまとめます。

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1} \sin (θ)}{\cos (θ)}}$

ステップ 3.3.2

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1}}{\cos (θ)}}$

ステップ 3.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)}}$

ステップ 3.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}}$

ステップ 3.4

$\sin (θ)$ と $\frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1)}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}}$

ステップ 3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{{\sin (θ)}^{2}}$

ステップ 3.6

まとめる。

$\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1) \cos (θ)}{\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}}$

ステップ 3.7

$\sin (θ)$ と ${\sin (θ)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.1

$\sin (θ)$ を $\sin (θ) (\cos (θ) + 1) \cos (θ)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}}$

ステップ 3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.2.1

$\sin (θ)$ を $\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\sin (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

ステップ 3.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\sin (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

ステップ 3.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(\cos (θ) + 1) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

ステップ 3.8

$\cos (θ)$ の共通因数を約分します。

$\frac{\cos (θ) + 1}{\sin (θ)}$

ステップ 4

ここで、方程式の左辺を考えます。

$\cot (θ) + \csc (θ)$

ステップ 5

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 5.1

商の恒等式を利用して $\cot (θ)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \csc (θ)$

ステップ 5.2

$\csc (θ)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (θ) + 1}{\sin (θ)}$

ステップ 7

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\cot (θ) + \csc (θ) = \frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$ は公式です

三角関数 例

三角関数例