三角関数例

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x)) = \sin^{2} (x) - 1$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x))$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x))$

ステップ 2.2

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) + \sec (x))$

ステップ 2.3

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x))$

ステップ 2.4

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$({\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 3.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$\cos (x)$ を ${\cos (x)}^{2}$ で因数分解します。

$(\cos (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$(\cos (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$(\cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 3.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{\cos (x)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$(\cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{2} \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 3.3.2

$\cos (x)$ を ${\cos (x)}^{2}$ で因数分解します。

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 3.3.3

共通因数を約分します。

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 3.3.4

式を書き換えます。

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cdot - 1) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 3.4

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$- 1$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$(\cos (x) \sin (x) - 1 \cdot \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 3.4.2

$- 1 \cos (x)$ を $- \cos (x)$ に書き換えます。

$(\cos (x) \sin (x) - \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 3.5

分配法則（FOIL法）を使って $(\cos (x) \sin (x) - \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$ を展開します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) - \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 3.5.2

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 3.5.3

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3.6

簡約し、同類項をまとめます。

$\sin^{2} (x) - 1$

ステップ 4

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x)) = \sin^{2} (x) - 1$ は公式です

三角関数 例

三角関数例