三角関数例

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} = - 2 \cot^{2} (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)}$

ステップ 2

分数をたし算します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{1 + \sec (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{1 - \sec (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{1 + \sec (x)}$ に $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ をかけます。

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1}{1 - \sec (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{1 - \sec (x)}$ に $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ をかけます。

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1 + \sec (x)}{(1 - \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

ステップ 2.3.3

$(1 - \sec (x)) (1 + \sec (x))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1 + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - \sec (x) + 1 + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 - \sec (x) + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

ステップ 3.2

$- \sec (x)$ と $\sec (x)$ をたし算します。

$\frac{2 + 0}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

ステップ 3.3

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ を展開します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{1 (1 - \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{2}{1 - \sec^{2} (x)}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

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ステップ 5.1

$1$ と $- \sec^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\frac{2}{- \sec^{2} (x) + 1}$

ステップ 5.2

$- 1$ を $- \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

ステップ 5.3

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{2}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

ステップ 5.4

$- 1$ を $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{2}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

ステップ 5.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{2}{- \tan^{2} (x)}$

ステップ 6

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 6.1

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{2}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 6.2

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{2}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

ステップ 7.2

$2 (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

$- 2$ と $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 7.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8

$- 1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 9

まとめる。

$\frac{- (2 \cos^{2} (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

ステップ 10

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

ステップ 11

${\sin (x)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 13

ここで、方程式の右辺を考えます。

$- 2 \cot^{2} (x)$

ステップ 14

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 14.1

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$- 2 {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 14.2

積の法則を $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$- 2 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

$- 2$ と $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 15.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 16

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} = - 2 \cot^{2} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例