三角関数例

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

ステップ 1

右辺から始めます。

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

ステップ 2

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

ステップ 3

因数分解。

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ステップ 3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$1^{2} - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

ステップ 3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \tan^{2} (x)$

ステップ 4

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sec^{2} (x) - 1$

ステップ 5

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 5.1

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

ステップ 5.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ を展開します。

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ステップ 6.1.1.1

分配則を当てはめます。

$1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

ステップ 6.1.1.2

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

ステップ 6.1.1.3

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

ステップ 6.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

ステップ 6.1.2.1.2

$- \sin (x)$ に $1$ をかけます。

$1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

ステップ 6.1.2.1.3

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

ステップ 6.1.2.1.4

$\sin (x) (- \sin (x))$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1.4.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

ステップ 6.1.2.1.4.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

ステップ 6.1.2.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

ステップ 6.1.2.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

ステップ 6.1.2.2

$- \sin (x)$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

ステップ 6.1.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

ステップ 6.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

ステップ 6.2

$1$ から $1$ を引きます。

$- {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 0$

ステップ 6.3

$- {\sin (x)}^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- \sin^{2} (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7

$- \sin^{2} (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8

分数をたし算します。

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ステップ 8.1

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を掛けます。

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.2

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ に $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ をかけます。

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 9

分子を簡約します。

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 10

ここで、方程式の左辺を考えます。

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

ステップ 11

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 11.1

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

ステップ 11.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

ステップ 12

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

ステップ 13

$- \sin^{2} (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1}$

ステップ 14

分数をたし算します。

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ステップ 14.1

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 14.2

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ に $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 14.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 15

分子を簡約します。

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 16

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例