三角関数例

$2 \sin (t) \cos (t) + 1 = {(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

ステップ 1

右辺から始めます。

${(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

$\sec (t)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

ステップ 2.2

$\csc (t)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

ステップ 2.3

$\sec (t)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \csc (t)})}^{2}$

ステップ 2.4

$\csc (t)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$\frac{1}{\cos (t)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ を掛けます。

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

ステップ 2.5.1.2

$\frac{1}{\sin (t)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ を掛けます。

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

ステップ 2.5.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\cos (t) \sin (t)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.5.1.3.1

$\frac{1}{\cos (t)}$ に $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ をかけます。

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

ステップ 2.5.1.3.2

$\frac{1}{\sin (t)}$ に $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ をかけます。

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t) \cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

ステップ 2.5.1.4

公分母の分子をまとめます。

${(\frac{\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

ステップ 2.5.2

$\frac{1}{\cos (t)}$ に $\frac{1}{\sin (t)}$ をかけます。

${(\frac{\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t) \sin (t)}})}^{2}$

ステップ 2.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

${(\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} (\cos (t) \sin (t)))}^{2}$

ステップ 2.5.4

$\cos (t) \sin (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.4.1

共通因数を約分します。

${(\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} (\cos (t) \sin (t)))}^{2}$

ステップ 2.5.4.2

式を書き換えます。

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$

ステップ 2.5.5

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$ を $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ に書き換えます。

$(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$

ステップ 2.5.6

分配法則（FOIL法）を使って $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ を展開します。

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ステップ 2.5.6.1

分配則を当てはめます。

$\sin (t) (\sin (t) + \cos (t)) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

ステップ 2.5.6.2

分配則を当てはめます。

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

ステップ 2.5.6.3

分配則を当てはめます。

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

ステップ 2.5.7

簡約し、同類項をまとめます。

$\sin^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)$

ステップ 3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

$\cos^{2} (t)$ を移動させます。

$\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t)$

ステップ 3.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$1 + 2 \cos (t) \sin (t)$

ステップ 4

$1 + 2 \cos (t) \sin (t)$ を $2 \sin (t) \cos (t) + 1$ に書き換えます。

$2 \sin (t) \cos (t) + 1$

ステップ 5

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$2 \sin (t) \cos (t) + 1 = {(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$ は公式です

三角関数 例

三角関数例