三角関数例

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1 = \tan^{2} (θ)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

ステップ 2

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$(1 + \cot^{2} (θ)) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

ステップ 3

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 3.1

商の恒等式を利用して $\cot (θ)$ を正弦と余弦で書きます。

$(1 + {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

ステップ 3.2

商の恒等式を利用して $\tan (θ)$ を正弦と余弦で書きます。

$(1 + {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}) \cdot {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - 1$

ステップ 3.3

積の法則を $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ に当てはめます。

$(1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}) \cdot {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - 1$

ステップ 3.4

積の法則を $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ に当てはめます。

$(1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}) \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - 1$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$1 \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} - 1$

ステップ 4.1.2

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} - 1$

ステップ 4.1.3

まとめる。

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}} - 1$

ステップ 4.1.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.4.1

${\cos (θ)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}} - 1$

ステップ 4.1.4.1.2

式を書き換えます。

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1$

ステップ 4.1.4.2

${\sin (θ)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1$

ステップ 4.1.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 1 - 1$

ステップ 4.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 0$

ステップ 4.3

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

ステップ 5

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ を $\tan^{2} (θ)$ に書き換えます。

$\tan^{2} (θ)$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1 = \tan^{2} (θ)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例