三角関数例

$\sin (θ) + \cos (θ) \cdot \cot (θ) = 2$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

正弦と余弦に関して $\cot (θ)$ を書き換えます。

$\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = 2$

ステップ 1.1.2

$\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.2.1

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = 2$

ステップ 1.1.2.2

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = 2$

ステップ 1.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = 2$

ステップ 1.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 2$

ステップ 2

方程式の両辺に $\sin (θ)$ を掛けます。

$\sin (θ) (\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \cdot 2$

ステップ 3

分配則を当てはめます。

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

ステップ 4

$\sin (θ) \sin (θ)$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

ステップ 4.2

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

ステップ 4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

ステップ 4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

ステップ 5

$\sin (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

共通因数を約分します。

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

ステップ 5.2

式を書き換えます。

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = \sin (θ) \cdot 2$

ステップ 6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$1 = \sin (θ) \cdot 2$

ステップ 7

$2$ を $\sin (θ)$ の左に移動させます。

$1 = 2 \sin (θ)$

ステップ 8

方程式を $2 \sin (θ) = 1$ として書き換えます。

$2 \sin (θ) = 1$

ステップ 9

$2 \sin (θ) = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.1

$2 \sin (θ) = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 9.2.1.2

$\sin (θ)$ を $1$ で割ります。

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

ステップ 10

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 11

右辺を簡約します。

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ステップ 11.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$θ = \frac{π}{6}$

ステップ 12

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$θ = π - \frac{π}{6}$

ステップ 13

$π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

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ステップ 13.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 13.2

分数をまとめます。

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ステップ 13.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 13.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 13.3

分子を簡約します。

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ステップ 13.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 13.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$θ = \frac{5 π}{6}$

ステップ 14

$\sin (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 14.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 14.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 14.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 14.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 15

$\sin (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例