三角関数例

$4 \sin^{2} (θ) - 3 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$4 \sin^{2} (θ) = 3$

ステップ 2

$4 \sin^{2} (θ) = 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$4 \sin^{2} (θ) = 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \sin^{2} (θ)}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sin^{2} (θ)}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 2.2.1.2

$\sin^{2} (θ)$ を $1$ で割ります。

$\sin^{2} (θ) = \frac{3}{4}$

ステップ 3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sin (θ) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ を $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 4.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 6

各解を求め、 $θ$ を解きます。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 7

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $60$ です。

$θ = 60$

ステップ 7.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$θ = 180 - 60$

ステップ 7.4

$180$ から $60$ を引きます。

$θ = 120$

ステップ 7.5

$\sin (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 7.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 7.6

$\sin (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 60 + 360 n, 120 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $- 60$ です。

$θ = - 60$

ステップ 8.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $180$ に足し、第三象限で解を求めます。

$θ = 360 + 60 + 180$

ステップ 8.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 8.4.1

$360 + 60 + 180 °$ から $360 °$ を引きます。

$θ = 360 + 60 + 180 ° - 360 °$

ステップ 8.4.2

$240 °$ の結果の角度は正で、 $360 °$ より小さく、 $360 + 60 + 180$ と隣接します。

$θ = 240 °$

ステップ 8.5

$\sin (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 8.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 8.6

$360$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 8.6.1

$360$ を $- 60$ に足し、正の角を求めます。

$- 60 + 360$

ステップ 8.6.2

$360$ から $60$ を引きます。

$300$

ステップ 8.6.3

新しい角をリストします。

$θ = 300$

ステップ 8.7

$\sin (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 240 + 360 n, 300 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

すべての解をまとめます。

$θ = 60 + 360 n, 120 + 360 n, 240 + 360 n, 300 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

解をまとめます。

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ステップ 10.1

$240 + 360 n$ と $60 + 180 n$ を $60 + 360 n$ にまとめます。

$θ = 60 + 180 n, 120 + 360 n, 300 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10.2

$300 + 360 n$ と $120 + 180 n$ を $120 + 360 n$ にまとめます。

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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