三角関数例

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = \cot (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 2.2

$- \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sin (x) (1 + \cos (x))$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ に $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))} - \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

ステップ 2.3.3

$(1 + \cos (x)) \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + \cos (x) - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.5.1.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.1.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + \cos (x) - \sin^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.2

$- \sin^{2} (x)$ を移動させます。

$\frac{1 - \sin^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\cos^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.4

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x) + \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.4.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.4.2

$1$ を掛けます。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.5.4.3

$\cos (x)$ を $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.6

$\cos (x) + 1$ と $1 + \cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

項を並べ替えます。

$\frac{\cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 2.6.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に書き換えます。

$\cot (x)$

ステップ 4

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = \cot (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例