三角関数例

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} = 2 \tan^{2} (θ)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1}$

ステップ 2

分数を引き算します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{\csc (θ) - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} \cdot \frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1}$

ステップ 2.2

$- \frac{1}{\csc (θ) + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} \cdot \frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} \cdot \frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{\csc (θ) - 1}$ に $\frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1}$ をかけます。

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} \cdot \frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{\csc (θ) + 1}$ に $\frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$ をかけます。

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)} - \frac{\csc (θ) - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

ステップ 2.3.3

$(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)} - \frac{\csc (θ) - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\csc (θ) + 1 - (\csc (θ) - 1)}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\csc (θ) + 1 - \csc (θ) - - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

ステップ 3.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\csc (θ) + 1 - \csc (θ) + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

ステップ 3.2

$\csc (θ)$ から $\csc (θ)$ を引きます。

$\frac{0 + 1 + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

ステップ 3.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

ステップ 3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)$ を展開します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{\csc (θ) (\csc (θ) - 1) + 1 (\csc (θ) - 1)}$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{\csc (θ) \csc (θ) + \csc (θ) \cdot - 1 + 1 (\csc (θ) - 1)}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{\csc (θ) \csc (θ) + \csc (θ) \cdot - 1 + 1 \csc (θ) + 1 \cdot - 1}$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{2}{\csc^{2} (θ) - 1}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{2}{\cot^{2} (θ)}$

ステップ 6

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 6.1

商の恒等式を利用して $\cot (θ)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{2}{{(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}}$

ステップ 6.2

積の法則を $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ に当てはめます。

$\frac{2}{\frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

ステップ 7.2

$2$ と $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

ステップ 8

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ を $2 \tan^{2} (θ)$ に書き換えます。

$2 \tan^{2} (θ)$

ステップ 9

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} = 2 \tan^{2} (θ)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例