三角関数例

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)} = 2 \csc (3 t)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \cos (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ を掛けます。

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} \cdot \frac{1 + \cos (3 t)}{1 + \cos (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$

ステップ 2.2

$\frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (3 t)}{\sin (3 t)}$ を掛けます。

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} \cdot \frac{1 + \cos (3 t)}{1 + \cos (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)} \cdot \frac{\sin (3 t)}{\sin (3 t)}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)}$ に $\frac{1 + \cos (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ をかけます。

$\frac{(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)} \cdot \frac{\sin (3 t)}{\sin (3 t)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ に $\frac{\sin (3 t)}{\sin (3 t)}$ をかけます。

$\frac{(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))} + \frac{\sin (3 t) \sin (3 t)}{(1 + \cos (3 t)) \sin (3 t)}$

ステップ 2.3.3

$(1 + \cos (3 t)) \sin (3 t)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))} + \frac{\sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t)) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t))$ を展開します。

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ステップ 2.5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (1 + \cos (3 t)) + \cos (3 t) (1 + \cos (3 t)) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (3 t) + \cos (3 t) (1 + \cos (3 t)) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (3 t) + \cos (3 t) \cdot 1 + \cos (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 1 \cos (3 t) + \cos (3 t) \cdot 1 + \cos (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.2.1.2

$\cos (3 t)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) \cdot 1 + \cos (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.2.1.3

$\cos (3 t)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + \cos (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.2.1.4

$\cos (3 t) \cos (3 t)$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.1.4.1

$\cos (3 t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + \cos^{1} (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.2.1.4.2

$\cos (3 t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + \cos^{1} (3 t) \cos^{1} (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.2.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + {\cos (3 t)}^{1 + 1} + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.2.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.2.2

$\cos (3 t)$ と $\cos (3 t)$ をたし算します。

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.3

$\sin (3 t) \sin (3 t)$ を掛けます。

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ステップ 2.5.3.1

$\sin (3 t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin^{1} (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.3.2

$\sin (3 t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin^{1} (3 t) \sin^{1} (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + {\sin (3 t)}^{1 + 1}}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin^{2} (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.4

因数分解した形で $1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin^{2} (3 t)$ を書き換えます。

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ステップ 2.5.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \sin^{2} (3 t) + \cos^{2} (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.4.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + 1}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.4.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 + 2 \cos (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.4.4

$2$ を $2 + 2 \cos (3 t)$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.4.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.5.4.4.2

$2$ を $2 \cdot 1 + 2 \cos (3 t)$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.6

$1 + \cos (3 t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

ステップ 2.6.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{\sin (3 t)}$

ステップ 3

$\frac{2}{\sin (3 t)}$ を $2 \csc (3 t)$ に書き換えます。

$2 \csc (3 t)$

ステップ 4

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)} = 2 \csc (3 t)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例