三角関数例

$9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) = 12 \tan (θ)$

ステップ 1

方程式の両辺から $12 \tan (θ)$ を引きます。

$9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

ステップ 2

$3 \tan (θ)$ を $9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$3 \tan (θ)$ を $9 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ で因数分解します。

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) - 12 \tan (θ) = 0$

ステップ 2.2

$3 \tan (θ)$ を $- 12 \tan (θ)$ で因数分解します。

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) + 3 \tan (θ) \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.3

$3 \tan (θ)$ を $3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) + 3 \tan (θ) \cdot - 4$ で因数分解します。

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ) - 4) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan (θ) = 0$

$3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$

ステップ 4

$\tan (θ)$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\tan (θ)$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (θ) = 0$

ステップ 4.2

$θ$ について $\tan (θ) = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arctan (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$θ = 0$

ステップ 4.2.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 180 + 0$

ステップ 4.2.4

$180$ と $0$ をたし算します。

$θ = 180$

ステップ 4.2.5

$\tan (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.5.1

関数の期間は $\frac{180}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{180}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{180}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{180}{1}$

ステップ 4.2.5.4

$180$ を $1$ で割ります。

$180$

ステップ 4.2.6

$\tan (θ)$ 関数の周期が $180$ なので、両方向で $180$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$3 \sec^{2} (θ) - 4$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 5.1

$3 \sec^{2} (θ) - 4$ が $0$ に等しいとします。

$3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$

ステップ 5.2

$θ$ について $3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$3 \sec^{2} (θ) = 4$

ステップ 5.2.2

$3 \sec^{2} (θ) = 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$3 \sec^{2} (θ) = 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 \sec^{2} (θ)}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sec^{2} (θ)}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$\sec^{2} (θ)$ を $1$ で割ります。

$\sec^{2} (θ) = \frac{4}{3}$

ステップ 5.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sec (θ) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

ステップ 5.2.4

$\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$\sqrt{\frac{4}{3}}$ を $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

ステップ 5.2.4.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.4.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

ステップ 5.2.4.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sec (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

ステップ 5.2.4.3

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\sec (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 5.2.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.2.4.4.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 5.2.4.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 5.2.4.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 5.2.4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.2.4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 5.2.4.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.2.4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.2.4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.2.4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 5.2.4.4.6.5

指数を求めます。

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.2.6

各解を求め、 $θ$ を解きます。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.2.7

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 5.2.7.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $θ$ を取り出します。

$θ = arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

ステップ 5.2.7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.7.2.1

$arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $30$ です。

$θ = 30$

ステップ 5.2.7.3

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 360 - 30$

ステップ 5.2.7.4

$360$ から $30$ を引きます。

$θ = 330$

ステップ 5.2.7.5

$\sec (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.7.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 5.2.7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 5.2.7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 5.2.7.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 5.2.7.6

$\sec (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 30 + 360 n, 330 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.8

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 5.2.8.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $θ$ を取り出します。

$θ = arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

ステップ 5.2.8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.8.2.1

$arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $150$ です。

$θ = 150$

ステップ 5.2.8.3

正割関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$θ = 360 - 150$

ステップ 5.2.8.4

$360$ から $150$ を引きます。

$θ = 210$

ステップ 5.2.8.5

$\sec (θ)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 5.2.8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 5.2.8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 5.2.8.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 5.2.8.6

$\sec (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 150 + 360 n, 210 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.9

すべての解をまとめます。

$θ = 30 + 360 n, 330 + 360 n, 150 + 360 n, 210 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.10

解をまとめます。

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ステップ 5.2.10.1

$210 + 360 n$ と $30 + 180 n$ を $30 + 360 n$ にまとめます。

$θ = 30 + 180 n, 330 + 360 n, 150 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.10.2

$150 + 360 n$ と $150 + 180 n$ を $330 + 360 n$ にまとめます。

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ) - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 30 + 180 n, 150 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$180 + 180 n$ と $180 n$ を $180 n$ にまとめます。

$θ = 180 n, 30 + 180 n, 150 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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