三角関数例

$6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) = 12 \tan (θ)$

ステップ 1

方程式の両辺から $12 \tan (θ)$ を引きます。

$6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

ステップ 2

$6 \tan (θ)$ を $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$6 \tan (θ)$ を $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ で因数分解します。

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

ステップ 2.2

$6 \tan (θ)$ を $- 12 \tan (θ)$ で因数分解します。

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) + 6 \tan (θ) \cdot - 2 = 0$

ステップ 2.3

$6 \tan (θ)$ を $6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) + 6 \tan (θ) \cdot - 2$ で因数分解します。

$6 \tan (θ) (\sec^{2} (θ) - 2) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan (θ) = 0$

$\sec^{2} (θ) - 2 = 0$

ステップ 4

$\tan (θ)$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\tan (θ)$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (θ) = 0$

ステップ 4.2

$θ$ について $\tan (θ) = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arctan (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$θ = 0$

ステップ 4.2.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 180 + 0$

ステップ 4.2.4

$180$ と $0$ をたし算します。

$θ = 180$

ステップ 4.2.5

$\tan (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.5.1

関数の期間は $\frac{180}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{180}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{180}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{180}{1}$

ステップ 4.2.5.4

$180$ を $1$ で割ります。

$180$

ステップ 4.2.6

$\tan (θ)$ 関数の周期が $180$ なので、両方向で $180$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\sec^{2} (θ) - 2$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\sec^{2} (θ) - 2$ が $0$ に等しいとします。

$\sec^{2} (θ) - 2 = 0$

ステップ 5.2

$θ$ について $\sec^{2} (θ) - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\sec^{2} (θ) = 2$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sec (θ) = \pm \sqrt{2}$

ステップ 5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

ステップ 5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

ステップ 5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sec (θ) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 5.2.4

各解を求め、 $θ$ を解きます。

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

ステップ 5.2.5

$\sec (θ) = \sqrt{2}$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 5.2.5.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $θ$ を取り出します。

$θ = arcsec (\sqrt{2})$

ステップ 5.2.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.5.2.1

$arcsec (\sqrt{2})$ の厳密値は $45$ です。

$θ = 45$

ステップ 5.2.5.3

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 360 - 45$

ステップ 5.2.5.4

$360$ から $45$ を引きます。

$θ = 315$

ステップ 5.2.5.5

$\sec (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.5.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 5.2.5.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 5.2.5.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 5.2.5.6

$\sec (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.6

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 5.2.6.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $θ$ を取り出します。

$θ = arcsec (- \sqrt{2})$

ステップ 5.2.6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.6.2.1

$arcsec (- \sqrt{2})$ の厳密値は $135$ です。

$θ = 135$

ステップ 5.2.6.3

正割関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$θ = 360 - 135$

ステップ 5.2.6.4

$360$ から $135$ を引きます。

$θ = 225$

ステップ 5.2.6.5

$\sec (θ)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 5.2.6.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 5.2.6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 5.2.6.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 5.2.6.6

$\sec (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 135 + 360 n, 225 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.7

すべての解をまとめます。

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.8

答えをまとめます。

$θ = 45 + 90 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $6 \tan (θ) (\sec^{2} (θ) - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 45 + 90 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$180 + 180 n$ と $180 n$ を $180 n$ にまとめます。

$θ = 180 n, 45 + 90 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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