三角関数例

$\tan^{2} (θ) - 3 \tan (θ) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = \tan (θ)$ とします。 $u$ を $\tan (θ)$ に代入します。

$u^{2} - 3 u = 0$

ステップ 1.2

$u$ を $u^{2} - 3 u$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$u \cdot u - 3 u = 0$

ステップ 1.2.2

$u$ を $- 3 u$ で因数分解します。

$u \cdot u + u \cdot - 3 = 0$

ステップ 1.2.3

$u$ を $u \cdot u + u \cdot - 3$ で因数分解します。

$u (u - 3) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\tan (θ)$ で置き換えます。

$\tan (θ) (\tan (θ) - 3) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan (θ) = 0$

$\tan (θ) - 3 = 0$

ステップ 3

$\tan (θ)$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\tan (θ)$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (θ) = 0$

ステップ 3.2

$θ$ について $\tan (θ) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arctan (0)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$θ = 0$

ステップ 3.2.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 180 + 0$

ステップ 3.2.4

$180$ と $0$ をたし算します。

$θ = 180$

ステップ 3.2.5

$\tan (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.5.1

関数の期間は $\frac{180}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{180}{| b |}$

ステップ 3.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{180}{| 1 |}$

ステップ 3.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{180}{1}$

ステップ 3.2.5.4

$180$ を $1$ で割ります。

$180$

ステップ 3.2.6

$\tan (θ)$ 関数の周期が $180$ なので、両方向で $180$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\tan (θ) - 3$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\tan (θ) - 3$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (θ) - 3 = 0$

ステップ 4.2

$θ$ について $\tan (θ) - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$\tan (θ) = 3$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arctan (3)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$\arctan (3)$ の値を求めます。

$θ = 71.56505117$

ステップ 4.2.4

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 180 + 71.56505117$

ステップ 4.2.5

$180$ と $71.56505117$ をたし算します。

$θ = 251.56505117$

ステップ 4.2.6

$\tan (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.6.1

関数の期間は $\frac{180}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{180}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{180}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{180}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$180$ を $1$ で割ります。

$180$

ステップ 4.2.7

$\tan (θ)$ 関数の周期が $180$ なので、両方向で $180$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 71.56505117 + 180 n, 251.56505117 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

最終解は $\tan (θ) (\tan (θ) - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 71.56505117 + 180 n, 251.56505117 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

答えをまとめます。

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ステップ 6.1

$180 + 180 n$ と $180 n$ を $180 n$ にまとめます。

$θ = 180 n, 71.56505117 + 180 n, 251.56505117 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2

$251.56505117 + 180 n$ と $71.56505117 + 180 n$ を $71.56505117 + 180 n$ にまとめます。

$θ = 180 n, 71.56505117 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例