三角関数例

$- 4 \sin (x) = - \cos^{2} (x) + 1$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $\cos^{2} (x)$ を足します。

$- 4 \sin (x) + \cos^{2} (x) = 1$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 4 \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 2

$- 4 \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$\cos^{2} (x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$- 4 \sin (x) - 1 + \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- 4 \sin (x) - 1 (1) + \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2.3

$- 1$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$- 4 \sin (x) - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.4

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$- 4 \sin (x) - 1 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.5

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ を $- (1 - \cos^{2} (x))$ に書き換えます。

$- 4 \sin (x) - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- 4 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$u = \sin (x)$ とします。 $u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$- 4 u - u^{2} = 0$

ステップ 3.1.2

$u$ を $- 4 u - u^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.2.1

$u$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$u \cdot - 4 - u^{2} = 0$

ステップ 3.1.2.2

$u$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$u \cdot - 4 + u (- u) = 0$

ステップ 3.1.2.3

$u$ を $u \cdot - 4 + u (- u)$ で因数分解します。

$u (- 4 - u) = 0$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\sin (x) (- 4 - \sin (x)) = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$- 4 - \sin (x) = 0$

ステップ 3.3

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.3.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 3.3.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 3.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.3.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 3.3.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 3.3.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.3.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.3.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.3.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.3.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.3.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.4

$- 4 - \sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$- 4 - \sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$- 4 - \sin (x) = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $- 4 - \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$- \sin (x) = 4$

ステップ 3.4.2.2

$- \sin (x) = 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$- \sin (x) = 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{4}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2.2.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{4}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.3.1

$4$ を $- 1$ で割ります。

$\sin (x) = - 4$

ステップ 3.4.2.3

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- 4$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 3.5

最終解は $\sin (x) (- 4 - \sin (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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