三角関数例

$\sin (2 θ) = \cos (θ)$

ステップ 1

方程式の両辺から $\cos (θ)$ を引きます。

$\sin (2 θ) - \cos (θ) = 0$

ステップ 2

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) = 0$

ステップ 3

$\cos (θ)$ を $2 \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ)$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$\cos (θ)$ を $2 \sin (θ) \cos (θ)$ で因数分解します。

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) - \cos (θ) = 0$

ステップ 3.2

$\cos (θ)$ を $- \cos (θ)$ で因数分解します。

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot - 1 = 0$

ステップ 3.3

$\cos (θ)$ を $\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot - 1$ で因数分解します。

$\cos (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (θ) = 0$

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

ステップ 5

$\cos (θ)$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\cos (θ)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (θ) = 0$

ステップ 5.2

$θ$ について $\cos (θ) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $90$ です。

$θ = 90$

ステップ 5.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 360 - 90$

ステップ 5.2.4

$360$ から $90$ を引きます。

$θ = 270$

ステップ 5.2.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 5.2.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 5.2.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$2 \sin (θ) - 1$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 6.1

$2 \sin (θ) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

ステップ 6.2

$θ$ について $2 \sin (θ) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 \sin (θ) = 1$

ステップ 6.2.2

$2 \sin (θ) = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$2 \sin (θ) = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$\sin (θ)$ を $1$ で割ります。

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 6.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $30$ です。

$θ = 30$

ステップ 6.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$θ = 180 - 30$

ステップ 6.2.6

$180$ から $30$ を引きます。

$θ = 150$

ステップ 6.2.7

$\sin (θ)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 6.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 6.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 6.2.7.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 6.2.8

$\sin (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $\cos (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 30 + 360 n, 150 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$270 + 360 n$ と $90 + 180 n$ を $90 + 360 n$ にまとめます。

$θ = 90 + 180 n, 30 + 360 n, 150 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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