三角関数例

$9 \cos^{2} (θ) - 4 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$9 \cos^{2} (θ) = 4$

ステップ 2

$9 \cos^{2} (θ) = 4$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$9 \cos^{2} (θ) = 4$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 \cos^{2} (θ)}{9} = \frac{4}{9}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 \cos^{2} (θ)}{9} = \frac{4}{9}$

ステップ 2.2.1.2

$\cos^{2} (θ)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (θ) = \frac{4}{9}$

ステップ 3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{4}{9}}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{\frac{4}{9}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt{\frac{4}{9}}$ を $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$ に書き換えます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{9}}$

ステップ 4.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{9}}$

ステップ 4.3

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\cos (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3^{2}}}$

ステップ 4.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (θ) = \pm \frac{2}{3}$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (θ) = - \frac{2}{3}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (θ) = \frac{2}{3}, - \frac{2}{3}$

ステップ 6

各解を求め、 $θ$ を解きます。

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$

$\cos (θ) = - \frac{2}{3}$

ステップ 7

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (\frac{2}{3})$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\arccos (\frac{2}{3})$ の値を求めます。

$θ = 48.1896851$

ステップ 7.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 360 - 48.1896851$

ステップ 7.4

$360$ から $48.1896851$ を引きます。

$θ = 311.81031489$

ステップ 7.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 7.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 7.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 48.1896851 + 360 n, 311.81031489 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$\cos (θ) = - \frac{2}{3}$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (- \frac{2}{3})$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\arccos (- \frac{2}{3})$ の値を求めます。

$θ = 131.81031489$

ステップ 8.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$θ = 360 - 131.81031489$

ステップ 8.4

$360$ から $131.81031489$ を引きます。

$θ = 228.1896851$

ステップ 8.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 8.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 8.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 131.81031489 + 360 n, 228.1896851 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

すべての解をまとめます。

$θ = 48.1896851 + 360 n, 311.81031489 + 360 n, 131.81031489 + 360 n, 228.1896851 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

解をまとめます。

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ステップ 10.1

$228.1896851 + 360 n$ と $48.1896851 + 180 n$ を $48.1896851 + 360 n$ にまとめます。

$θ = 48.1896851 + 180 n, 311.81031489 + 360 n, 131.81031489 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10.2

$131.81031489 + 360 n$ と $131.81031489 + 180 n$ を $311.81031489 + 360 n$ にまとめます。

$θ = 48.1896851 + 180 n, 131.81031489 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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