三角関数例

$(\cot (θ) - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (θ) + 1) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

$\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$

ステップ 2

$\cot (θ) - \sqrt{3}$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 2.1

$\cot (θ) - \sqrt{3}$ が $0$ に等しいとします。

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

ステップ 2.2

$θ$ について $\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式の両辺に $\sqrt{3}$ を足します。

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

ステップ 2.2.2

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $θ$ を取り出します。

$θ = arccot (\sqrt{3})$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$arccot (\sqrt{3})$ の厳密値は $30$ です。

$θ = 30$

ステップ 2.2.4

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 180 + 30$

ステップ 2.2.5

$180$ と $30$ をたし算します。

$θ = 210$

ステップ 2.2.6

$\cot (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.2.6.1

関数の期間は $\frac{180}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{180}{| b |}$

ステップ 2.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{180}{| 1 |}$

ステップ 2.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{180}{1}$

ステップ 2.2.6.4

$180$ を $1$ で割ります。

$180$

ステップ 2.2.7

$\cot (θ)$ 関数の周期が $180$ なので、両方向で $180$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 30 + 180 n, 210 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$\sqrt{2} \sin (θ) + 1$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\sqrt{2} \sin (θ) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$

ステップ 3.2

$θ$ について $\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$

ステップ 3.2.2

$\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$ の各項を $\sqrt{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$ の各項を $\sqrt{2}$ で割ります。

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$\sqrt{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$\sin (θ)$ を $1$ で割ります。

$\sin (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (θ) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.2.2.3.2

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

ステップ 3.2.2.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.2.2.3.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 3.2.2.3.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 3.2.2.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.2.2.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.2.2.3.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.2.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.2.2.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.2.2.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.2.2.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.2.2.3.3.6.5

指数を求めます。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $- 45$ です。

$θ = - 45$

ステップ 3.2.5

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $180$ に足し、第三象限で解を求めます。

$θ = 360 + 45 + 180$

ステップ 3.2.6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 3.2.6.1

$360 + 45 + 180 °$ から $360 °$ を引きます。

$θ = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

ステップ 3.2.6.2

$225 °$ の結果の角度は正で、 $360 °$ より小さく、 $360 + 45 + 180$ と隣接します。

$θ = 225 °$

ステップ 3.2.7

$\sin (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.7.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 3.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 3.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 3.2.7.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 3.2.8

$360$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 3.2.8.1

$360$ を $- 45$ に足し、正の角を求めます。

$- 45 + 360$

ステップ 3.2.8.2

$360$ から $45$ を引きます。

$315$

ステップ 3.2.8.3

新しい角をリストします。

$θ = 315$

ステップ 3.2.9

$\sin (θ)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$θ = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

最終解は $(\cot (θ) - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (θ) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = 30 + 180 n, 210 + 180 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$210 + 180 n$ と $30 + 180 n$ を $30 + 180 n$ にまとめます。

$θ = 30 + 180 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例