三角関数例

$4 \sin^{2} (x) = 5 - 4 \cos (x)$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$4 \sin^{2} (x) - 5 = - 4 \cos (x)$

ステップ 1.2

方程式の両辺に $4 \cos (x)$ を足します。

$4 \sin^{2} (x) - 5 + 4 \cos (x) = 0$

ステップ 2

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $4 \sin^{2} (x)$ を $4 (1 - \cos^{2} (x))$ で置き換えます。

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 5 + 4 \cos (x) = 0$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 + 4 \cos (x) = 0$

ステップ 3.2

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 + 4 \cos (x) = 0$

ステップ 3.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 5 + 4 \cos (x) = 0$

ステップ 4

$4$ から $5$ を引きます。

$- 4 \cos^{2} (x) - 1 + 4 \cos (x) = 0$

ステップ 5

多項式を並べ替えます。

$- 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 6

$u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$- 4 {(u)}^{2} + 4 (u) - 1 = 0$

ステップ 7

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 7.1

$- 1$ を $- 4 u^{2} + 4 u - 1$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1

$- 1$ を $- 4 u^{2}$ で因数分解します。

$- (4 u^{2}) + 4 u - 1 = 0$

ステップ 7.1.2

$- 1$ を $4 u$ で因数分解します。

$- (4 u^{2}) - (- 4 u) - 1 = 0$

ステップ 7.1.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- (4 u^{2}) - (- 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 7.1.4

$- 1$ を $- (4 u^{2}) - (- 4 u)$ で因数分解します。

$- (4 u^{2} - 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 7.1.5

$- 1$ を $- (4 u^{2} - 4 u) - 1 (1)$ で因数分解します。

$- (4 u^{2} - 4 u + 1) = 0$

ステップ 7.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 7.2.1

$4 u^{2}$ を ${(2 u)}^{2}$ に書き換えます。

$- ({(2 u)}^{2} - 4 u + 1) = 0$

ステップ 7.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- ({(2 u)}^{2} - 4 u + 1^{2}) = 0$

ステップ 7.2.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

ステップ 7.2.4

多項式を書き換えます。

$- ({(2 u)}^{2} - 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 7.2.5

$a = 2 u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- {(2 u - 1)}^{2} = 0$

ステップ 8

$- {(2 u - 1)}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$- {(2 u - 1)}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- {(2 u - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{{(2 u - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 8.2.2

${(2 u - 1)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(2 u - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

${(2 u - 1)}^{2} = 0$

ステップ 9

$2 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 u - 1 = 0$

ステップ 10

$u$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 u = 1$

ステップ 10.2

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.2.1

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 10.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 10.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{2}$

ステップ 11

$\cos (x)$ を $u$ に代入します。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 12

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 13

右辺を簡約します。

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ステップ 13.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 14

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 15

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 15.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 15.2

分数をまとめます。

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ステップ 15.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 15.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 15.3

分子を簡約します。

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ステップ 15.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 15.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 16

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 16.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 16.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 16.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 16.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 17

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例