微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{3 (x - 8)}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{2} + 1}{3 (x - 8)}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 8$

ステップ 2

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 3

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 2$

$m = 1$

ステップ 4

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 5.1

$3$ を $3 x - 24$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + 1}{3 (x) - 24}$

ステップ 5.1.2

$3$ を $- 24$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + 1}{3 x + 3 \cdot - 8}$

ステップ 5.1.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot - 8$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} + 1}{3 (x - 8)}$

ステップ 5.2

$3 (x - 8)$ を展開します。

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ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 1}{3 x + 3 \cdot - 8}$

ステップ 5.2.2

$3$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1}{3 x - 24}$

ステップ 5.3

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$3 x$

$24$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

ステップ 5.4

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

ステップ 5.5

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$8 x$

ステップ 5.6

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} - 8 x$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$

ステップ 5.7

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$

ステップ 5.8

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$	+	$1$

ステップ 5.9

被除数 $8 x$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{8}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$	+	$1$

ステップ 5.10

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{8}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$	+	$1$
					+	$8 x$	-	$64$

ステップ 5.11

式は被除数から引く必要があるので、 $8 x - 64$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{8}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$	+	$1$
					-	$8 x$	+	$64$

ステップ 5.12

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{8}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$	+	$1$
					-	$8 x$	+	$64$
							+	$65$

ステップ 5.13

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{x}{3} + \frac{8}{3} + \frac{65}{3 x - 24}$

ステップ 5.14

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = \frac{x}{3} + \frac{8}{3}$

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 8$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = \frac{x}{3} + \frac{8}{3}$

ステップ 7

微分積分学準備 例

微分積分学準備例