微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{\frac{3 - x}{x + 2}}$

ステップ 1

$\sqrt{\frac{3 - x}{x + 2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{3 - x}{x + 2} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$3 - x = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- x = - 3$

ステップ 2.3

$- x = - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- x = - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.3.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$x = 3$

ステップ 2.4

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.5

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 3$

$x = - 2$

ステップ 2.6

解をまとめます。

$x = 3, - 2$

ステップ 2.7

$\frac{3 - x}{x + 2}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.7.1

$\frac{3 - x}{x + 2}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.7.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.7.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

ステップ 2.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 2.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.9.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 2.9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{3 - (- 4)}{(- 4) + 2} \geq 0$

ステップ 2.9.1.3

左辺 $- 3.5$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.9.2

区間 $- 2 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.2.1

区間 $- 2 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{3 - (0)}{(0) + 2} \geq 0$

ステップ 2.9.2.3

左辺 $1.5$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.9.3

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.3.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 2.9.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{3 - (6)}{(6) + 2} \geq 0$

ステップ 2.9.3.3

左辺 $- 0.375$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

ステップ 2.10

解はすべての真の区間からなります。

$- 2 < x \leq 3$

ステップ 3

$\frac{3 - x}{x + 2}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 2 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- 2, 3]$

集合の内包的記法：

${x | - 2 < x \leq 3}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例