微分積分学準備例

$\sqrt{x^{2} - 2 x - 2} + \sqrt{2 x - 3} = 5$

ステップ 1

$\sqrt{x^{2} - 2 x - 2}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} - 2 x - 2 \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

ステップ 2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = - 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.2.2

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.3

$4$ と $8$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

ステップ 2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.2.2

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.3

$4$ と $8$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

ステップ 2.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 1 + \sqrt{3}$

ステップ 2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.2.2

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.3

$4$ と $8$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

ステップ 2.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 1 - \sqrt{3}$

ステップ 2.7

解をまとめます。

$x = 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

ステップ 2.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 1 - \sqrt{3}$

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$

$x > 1 + \sqrt{3}$

ステップ 2.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

区間 $x < 1 - \sqrt{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1.1

区間 $x < 1 - \sqrt{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 2.9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

${(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 - 2 \geq 0$

ステップ 2.9.1.3

左辺 $13$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.9.2

区間 $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1

区間 $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 2 \geq 0$

ステップ 2.9.2.3

左辺 $- 2$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.9.3

区間 $x > 1 + \sqrt{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.3.1

区間 $x > 1 + \sqrt{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 2.9.3.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

${(5)}^{2} - 2 \cdot 5 - 2 \geq 0$

ステップ 2.9.3.3

左辺 $13$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 1 - \sqrt{3}$ 真

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ 偽

$x > 1 + \sqrt{3}$ 真

$x < 1 - \sqrt{3}$ 真

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ 偽

$x > 1 + \sqrt{3}$ 真

ステップ 2.10

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq 1 - \sqrt{3}$ または $x \geq 1 + \sqrt{3}$

ステップ 3

$\sqrt{2 x - 3}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2 x - 3 \geq 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

不等式の両辺に $3$ を足します。

$2 x \geq 3$

ステップ 4.2

$2 x \geq 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2 x \geq 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

ステップ 4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{3}{2}$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[1 + \sqrt{3}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 1 + \sqrt{3}}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例