微分積分学準備例

$f (x) = \frac{(x + 2) {(x + 1)}^{3}}{(x + 2) {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1

式 $\frac{(x + 2) {(x + 1)}^{3}}{(x + 2) {(x - 3)}^{2}}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - 2, x = 3$

ステップ 2

$\frac{(x + 2) {(x + 1)}^{3}}{(x + 2) {(x - 3)}^{2}}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $3$ 、 $\frac{(x + 2) {(x + 1)}^{3}}{(x + 2) {(x - 3)}^{2}}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $3$ としているので、 $x = 3$ は垂直漸近線です。

$x = 3$

ステップ 3

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 4

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 4$

$m = 3$

ステップ 5

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

ステップ 6.2

被除数 $x^{4}$ の最高次項を除数 $x^{3}$ の最高次項で割ります。

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

ステップ 6.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

ステップ 6.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 18 x$ の符号をすべて変更します。

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

ステップ 6.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

ステップ 6.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

ステップ 6.7

被除数 $9 x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{3}$ の最高次項で割ります。

$x$

$9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

ステップ 6.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$x$

$9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$27 x$

$162$

ステップ 6.9

式は被除数から引く必要があるので、 $9 x^{3} - 36 x^{2} - 27 x + 162$ の符号をすべて変更します。

$x$

$9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$27 x$

$162$

ステップ 6.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x$

$9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$27 x$

$162$

$48 x^{2}$

$16 x$

$160$

ステップ 6.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$x + 9 + \frac{48 x^{2} + 16 x - 160}{x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18}$

ステップ 6.12

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = x + 9$

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 3$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = x + 9$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例