微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - 3, x = 0$

ステップ 2

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ を左から $x$ $\to$ $- 3$ 、 $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $- 3$ としているので、 $x = - 3$ は垂直漸近線です。

$x = - 3$

ステップ 3

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ を左から $x$ $\to$ $0$ 、 $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $0$ としているので、 $x = 0$ は垂直漸近線です。

$x = 0$

ステップ 4

すべての垂直漸近線のリスト：

$x = - 3, 0$

ステップ 5

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 6

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 2$

ステップ 7

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 8

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 8.1

式を簡約します。

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ステップ 8.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{x^{2} + 3 x}$

ステップ 8.1.1.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

ステップ 8.1.1.3

簡約します。

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ステップ 8.1.1.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

ステップ 8.1.1.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 3 x}$

ステップ 8.1.2

$x$ を $x^{2} + 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 8.1.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + 3 x}$

ステップ 8.1.2.2

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x \cdot 3}$

ステップ 8.1.2.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2

$(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ を展開します。

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ステップ 8.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x^{2} - x + 1) + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.4

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.5

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.6

括弧を削除します。

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.7

$x$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.8

$x$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.9

括弧を削除します。

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.10

$- 1$ に $x$ をかけます。

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.11

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 + 2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.13

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{3} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.14

負をくくり出します。

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.15

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.16

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{3} - x^{1 + 1} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.18

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{3} - x^{2} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.19

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.20

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.21

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.22

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.23

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{3} - x^{2} + x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.24

$- x^{2}$ を移動させます。

$\frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.25

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{3} + 0 + x - x + 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.26

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.27

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{x^{3} + 0 + 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.2.28

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + 1}{x (x + 3)}$

ステップ 8.3

$x (x + 3)$ を展開します。

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ステップ 8.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + x \cdot 3}$

ステップ 8.3.2

$x$ と $3$ を並べ替えます。

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

ステップ 8.3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

ステップ 8.3.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

ステップ 8.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{3} + 1}{x^{1 + 1} + 3 x}$

ステップ 8.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

ステップ 8.4

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

ステップ 8.5

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

ステップ 8.6

新しい商の項に除数を掛けます。

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

ステップ 8.7

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 3 x^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

ステップ 8.8

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

ステップ 8.9

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

ステップ 8.10

被除数 $- 3 x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$

ステップ 8.11

新しい商の項に除数を掛けます。

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$
							-	$3 x^{2}$	-	$9 x$	+	$0$

ステップ 8.12

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 x^{2} - 9 x + 0$ の符号をすべて変更します。

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

ステップ 8.13

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

$9 x$

$1$

ステップ 8.14

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$x - 3 + \frac{9 x + 1}{x^{2} + 3 x}$

ステップ 8.15

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = x - 3$

ステップ 9

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - 3, 0$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = x - 3$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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