微分積分学準備例

$x^{2} - y^{2} = 36$

ステップ 1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$- y^{2} = 36 - x^{2}$

ステップ 2

$- y^{2} = 36 - x^{2}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$- y^{2} = 36 - x^{2}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{36}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{36}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

ステップ 2.2.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{36}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$36$ を $- 1$ で割ります。

$y^{2} = - 36 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

ステップ 2.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y^{2} = - 36 + \frac{x^{2}}{1}$

ステップ 2.3.1.3

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = - 36 + x^{2}$

ステップ 3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- 36 + x^{2}}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{- 36 + x^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

式を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 6^{2} + x^{2}}$

ステップ 4.1.2

$- 6^{2}$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 6^{2}}$

ステップ 4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 6$ です。

$y = \pm \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

$y = - \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

$y = \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

$y = - \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

ステップ 6

$\sqrt{(x + 6) (x - 6)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(x + 6) (x - 6) \geq 0$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

ステップ 7.2

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 7.2.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 7.3

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 7.3.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 7.4

最終解は $(x + 6) (x - 6) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 6, 6$

ステップ 7.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 6$

$- 6 < x < 6$

$x > 6$

ステップ 7.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.6.1

区間 $x < - 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.6.1.1

区間 $x < - 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 7.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$((- 8) + 6) ((- 8) - 6) \geq 0$

ステップ 7.6.1.3

左辺 $28$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.6.2

区間 $- 6 < x < 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.6.2.1

区間 $- 6 < x < 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) + 6) ((0) - 6) \geq 0$

ステップ 7.6.2.3

左辺 $- 36$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 7.6.3

区間 $x > 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.6.3.1

区間 $x > 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 7.6.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$((8) + 6) ((8) - 6) \geq 0$

ステップ 7.6.3.3

左辺 $28$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 6$ 真

$- 6 < x < 6$ 偽

$x > 6$ 真

$x < - 6$ 真

$- 6 < x < 6$ 偽

$x > 6$ 真

ステップ 7.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 6$ または $x \geq 6$

ステップ 8

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 6] \cup [6, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - 6, x \geq 6}$

ステップ 9

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \in ℝ}$

ステップ 10

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, - 6] \cup [6, \infty), {x | x \leq - 6, x \geq 6}$

値域： $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

ステップ 11

微分積分学準備 例

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