微分積分学準備例

$y^{2} = 81 - 9 x^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{81 - 9 x^{2}}$

ステップ 2

$\pm \sqrt{81 - 9 x^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$9$ を $81 - 9 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$9$ を $81$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{9 (9) - 9 x^{2}}$

ステップ 2.1.2

$9$ を $- 9 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{9 (9) + 9 (- x^{2})}$

ステップ 2.1.3

$9$ を $9 (9) + 9 (- x^{2})$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{9 (9 - x^{2})}$

ステップ 2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{9 (3^{2} - x^{2})}$

ステップ 2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3$ であり、 $b = x$ です。

$y = \pm \sqrt{9 (3 + x) (3 - x)}$

ステップ 2.4

$9 (3 + x) (3 - x)$ を $3^{2} ((3 + x) (3 - x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{3^{2} (3 + x) (3 - x)}$

ステップ 2.4.2

括弧を付けます。

$y = \pm \sqrt{3^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

ステップ 2.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

ステップ 3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

ステップ 3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

ステップ 3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

ステップ 4

$\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

ステップ 5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

ステップ 5.2

$3 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$3 + x$ が $0$ に等しいとします。

$3 + x = 0$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 5.3

$3 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$3 - x$ が $0$ に等しいとします。

$3 - x = 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について $3 - x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- x = - 3$

ステップ 5.3.2.2

$- x = - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$- x = - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.3.1

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$x = 3$

ステップ 5.4

最終解は $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, 3$

ステップ 5.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 5.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 5.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

ステップ 5.6.1.3

左辺 $- 27$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.6.2

区間 $- 3 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1

区間 $- 3 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 5.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

ステップ 5.6.2.3

左辺 $9$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.6.3

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 5.6.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

ステップ 5.6.3.3

左辺 $- 27$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

ステップ 5.7

解はすべての真の区間からなります。

$- 3 \leq x \leq 3$

ステップ 6

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 3, 3]$

集合の内包的記法：

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

ステップ 7

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- 9, 9]$

集合の内包的記法：

${y | - 9 \leq y \leq 9}$

ステップ 8

定義域と値域を判定します。

定義域： $[- 3, 3], {x | - 3 \leq x \leq 3}$

値域： $[- 9, 9], {y | - 9 \leq y \leq 9}$

ステップ 9

微分積分学準備 例

微分積分学準備例