微分積分学準備例

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{16} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺に $\frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$ を足します。

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$

ステップ 2

$1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

1つの分数にまとめます。

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ステップ 2.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16}{16} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$

ステップ 2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + {(x - 1)}^{2}}{16}$

ステップ 2.2

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + (x - 1) (x - 1)}{16}$

ステップ 2.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 2.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}{16}$

ステップ 2.2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{16}$

ステップ 2.2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

ステップ 2.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

ステップ 2.2.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

ステップ 2.2.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

ステップ 2.2.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}{16}$

ステップ 2.2.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - x + 1}{16}$

ステップ 2.2.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - 2 x + 1}{16}$

ステップ 2.2.4

$16$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

ステップ 3

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 \frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

ステップ 4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

ステップ 4.1.1.2

式を書き換えます。

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4 (4)}$

ステップ 4.2.1.2

共通因数を約分します。

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4 \cdot 4}$

ステップ 4.2.1.3

式を書き換えます。

${(y + 5)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}$

ステップ 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}}$

ステップ 6

$\pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 17)$ に書き換えます。

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ステップ 6.1.1

$x^{2} - 2 x + 17$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{4}}$

ステップ 6.1.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 6.1.3

分数 $\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y + 5 = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}$

ステップ 6.2

累乗根の下から項を取り出します。

$y + 5 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$

ステップ 6.3

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$ をまとめます。

$y + 5 = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

ステップ 7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y + 5 = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

ステップ 7.3

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y + 5 = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

ステップ 7.4

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

ステップ 7.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

ステップ 8

$\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} - 2 x + 17 \geq 0$

ステップ 9

$x$ について解きます。

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ステップ 9.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 2 x + 17 = 0$

ステップ 9.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 9.3

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 17$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 17)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.4

簡約します。

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ステップ 9.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 17$ を掛けます。

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ステップ 9.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.4.1.2.2

$- 4$ に $17$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.4.1.3

$4$ から $68$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.4.1.4

$- 64$ を $- 1 (64)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.4.1.5

$\sqrt{- 1 (64)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.4.1.7

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.4.1.9

$8$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

ステップ 9.4.3

$\frac{2 \pm 8 i}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm 4 i$

ステップ 9.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 9.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 17$ を掛けます。

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ステップ 9.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.5.1.2.2

$- 4$ に $17$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.5.1.3

$4$ から $68$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.5.1.4

$- 64$ を $- 1 (64)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.5.1.5

$\sqrt{- 1 (64)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.5.1.7

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.5.1.9

$8$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

ステップ 9.5.3

$\frac{2 \pm 8 i}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm 4 i$

ステップ 9.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 1 + 4 i$

ステップ 9.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 9.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.6.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 17$ を掛けます。

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ステップ 9.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.6.1.2.2

$- 4$ に $17$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.6.1.3

$4$ から $68$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.6.1.4

$- 64$ を $- 1 (64)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.6.1.5

$\sqrt{- 1 (64)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.6.1.7

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.6.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.6.1.9

$8$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

ステップ 9.6.3

$\frac{2 \pm 8 i}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm 4 i$

ステップ 9.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 1 - 4 i$

ステップ 9.7

首位係数を求めます。

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ステップ 9.7.1

多項式の最高次の項は最高次をもつ項です。

$x^{2}$

ステップ 9.7.2

多項式の首位係数は最高次の項の係数です。

$1$

ステップ 9.8

実x切片がなく、首位係数が正なので、放物線は上に開で $x^{2} - 2 x + 17$ は常に $0$ より大きくなります。

すべての実数

ステップ 10

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 11

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, - 7] \cup [- 3, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \leq - 7, y \geq - 3}$

ステップ 12

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

値域： $(- \infty, - 7] \cup [- 3, \infty), {y | y \leq - 7, y \geq - 3}$

ステップ 13

微分積分学準備 例

微分積分学準備例