微分積分学準備例

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{13} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{13} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = \sqrt{13}$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 5

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{13})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

${\sqrt{13}}^{2}$ を $13$ に書き換えます。

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ステップ 6.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{13}$ を $13^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{13^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{13^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{13^{1} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.1.1.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{13 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.1.2

積の法則を $2 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{13 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{13 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 6.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{13 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3^{1})}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.1.4.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3)}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.1.5

$- (4 \cdot 3)$ を掛けます。

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ステップ 6.1.5.1

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{13 - 1 \cdot 12}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.1.5.2

$- 1$ に $12$ をかけます。

$\frac{\sqrt{13 - 12}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.1.6

$13$ から $12$ を引きます。

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.1.7

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.2

$\frac{1}{\sqrt{13}}$ に $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

ステップ 6.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{1}{\sqrt{13}}$ に $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

ステップ 6.3.2

$\sqrt{13}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

ステップ 6.3.3

$\sqrt{13}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

ステップ 6.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

ステップ 6.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

ステップ 6.3.6

${\sqrt{13}}^{2}$ を $13$ に書き換えます。

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ステップ 6.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{13}$ を $13^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{13}}{13^{1}}$

ステップ 6.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{13}}{13}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{13}}{13}$

10進法形式：

$0.27735009 \dots$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例