微分積分学準備例

$p (x) = 4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$4 {(- \frac{3}{2})}^{4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = - \frac{3}{2}$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$4 ({(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{2^{4}}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$4 (1 \frac{3^{4}}{2^{4}}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.3

$\frac{3^{4}}{2^{4}}$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.4

$3$ を $4$ 乗します。

$4 \frac{81}{2^{4}} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.5

$2$ を $4$ 乗します。

$4 (\frac{81}{16}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.6

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$4 \frac{81}{4 (4)} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.6.2

共通因数を約分します。

$4 \frac{81}{4 \cdot 4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.6.3

式を書き換えます。

$\frac{81}{4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.7

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$\frac{81}{4} + 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.7.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$\frac{81}{4} + 8 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.8

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.9

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{27}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.10

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.11

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.11.1

$- \frac{27}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{81}{4} + 8 (\frac{- 27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.11.2

共通因数を約分します。

$\frac{81}{4} + 8 (\frac{- 27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.11.3

式を書き換えます。

$\frac{81}{4} - 27 - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.12

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.12.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$\frac{81}{4} - 27 - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.12.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$\frac{81}{4} - 27 - 7 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.13

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{81}{4} - 27 - 7 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.14

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{81}{4} - 27 - 7 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.15

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{81}{4} - 27 - 7 \frac{9}{2^{2}} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.16

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{81}{4} - 27 - 7 (\frac{9}{4}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.17

$- 7 (\frac{9}{4})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.1

$- 7$ と $\frac{9}{4}$ をまとめます。

$\frac{81}{4} - 27 + \frac{- 7 \cdot 9}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.17.2

$- 7$ に $9$ をかけます。

$\frac{81}{4} - 27 + \frac{- 63}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.18

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.19

$- 21 (- \frac{3}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.19.1

$- 1$ に $- 21$ をかけます。

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + 21 (\frac{3}{2}) - 9$

ステップ 4.1.19.2

$21$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + \frac{21 \cdot 3}{2} - 9$

ステップ 4.1.19.3

$21$ に $3$ をかけます。

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + \frac{63}{2} - 9$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

公分母の分子をまとめます。

$- 27 - 9 + \frac{81 - 63}{4} + \frac{63}{2}$

ステップ 4.2.2

$81$ から $63$ を引きます。

$- 27 - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

ステップ 4.3

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 27$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 27}{1} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

ステップ 4.3.2

$\frac{- 27}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{- 27}{1} \cdot \frac{4}{4} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

ステップ 4.3.3

$\frac{- 27}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

ステップ 4.3.4

$- 9$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

ステップ 4.3.5

$\frac{- 9}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

ステップ 4.3.6

$\frac{- 9}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

ステップ 4.3.7

$\frac{63}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 4.3.8

$\frac{63}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.3.9

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63 \cdot 2}{4}$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 27 \cdot 4 - 9 \cdot 4 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

ステップ 4.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$- 27$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 108 - 9 \cdot 4 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

ステップ 4.5.2

$- 9$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 108 - 36 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

ステップ 4.5.3

$63$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 108 - 36 + 18 + 126}{4}$

ステップ 4.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$- 108$ から $36$ を引きます。

$\frac{- 144 + 18 + 126}{4}$

ステップ 4.6.2

$- 144$ と $18$ をたし算します。

$\frac{- 126 + 126}{4}$

ステップ 4.6.3

$- 126$ と $126$ をたし算します。

$\frac{0}{4}$

ステップ 4.6.4

$0$ を $4$ で割ります。

$0$

ステップ 5

$- \frac{3}{2}$ は既知の根なので、多項式を $x + \frac{3}{2}$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x + \frac{3}{2}}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

ステップ 6.2

被除数 $(4)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

ステップ 6.3

結果 $(4)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{3}{2})$ を掛け、 $(- 6)$ の結果を被除数 $(8)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$
	$4$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$
	$4$	$2$

ステップ 6.5

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{3}{2})$ を掛け、 $(- 3)$ の結果を被除数 $(- 7)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$
	$4$	$2$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$
	$4$	$2$	$- 10$

ステップ 6.7

結果 $(- 10)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{3}{2})$ を掛け、 $(15)$ の結果を被除数 $(- 21)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$
	$4$	$2$	$- 10$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$

ステップ 6.9

結果 $(- 6)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{3}{2})$ を掛け、 $(9)$ の結果を被除数 $(- 9)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$	$9$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$	$9$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$4 x^{3} + 2 x^{2} + (- 10) x - 6$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$4 x^{3} + 2 x^{2} - 10 x - 6$

ステップ 7

$2$ を $4 x^{3} + 2 x^{2} - 10 x - 6$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} - 10 x - 6)$

ステップ 7.2

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) - 10 x - 6)$

ステップ 7.3

$2$ を $- 10 x$ で因数分解します。

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (- 5 x) - 6)$

ステップ 7.4

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (- 5 x) + 2 \cdot - 3)$

ステップ 7.5

$2$ を $2 (2 x^{3}) + 2 x^{2}$ で因数分解します。

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (- 5 x) + 2 \cdot - 3)$

ステップ 7.6

$2$ を $2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (- 5 x)$ で因数分解します。

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x) + 2 \cdot - 3)$

ステップ 7.7

$2$ を $2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x) + 2 \cdot - 3$ で因数分解します。

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3))$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

有理根検定を用いて $4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

ステップ 8.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

ステップ 8.1.3

$- 1.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1.5$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.3.1

$- 1.5$ を多項式に代入します。

$4 {(- 1.5)}^{4} + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

ステップ 8.1.3.2

$- 1.5$ を $4$ 乗します。

$4 \cdot 5.0625 + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

ステップ 8.1.3.3

$4$ に $5.0625$ をかけます。

$20.25 + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

ステップ 8.1.3.4

$- 1.5$ を $3$ 乗します。

$20.25 + 8 \cdot - 3.375 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

ステップ 8.1.3.5

$8$ に $- 3.375$ をかけます。

$20.25 - 27 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

ステップ 8.1.3.6

$20.25$ から $27$ を引きます。

$- 6.75 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

ステップ 8.1.3.7

$- 1.5$ を $2$ 乗します。

$- 6.75 - 7 \cdot 2.25 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

ステップ 8.1.3.8

$- 7$ に $2.25$ をかけます。

$- 6.75 - 15.75 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

ステップ 8.1.3.9

$- 6.75$ から $15.75$ を引きます。

$- 22.5 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

ステップ 8.1.3.10

$- 21$ に $- 1.5$ をかけます。

$- 22.5 + 31.5 - 9$

ステップ 8.1.3.11

$- 22.5$ と $31.5$ をたし算します。

$9 - 9$

ステップ 8.1.3.12

$9$ から $9$ を引きます。

$0$

ステップ 8.1.4

$- 1.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x + 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{2 x + 3}$

ステップ 8.1.5

$4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ を $2 x + 3$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

ステップ 8.1.5.2

被除数 $4 x^{4}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

ステップ 8.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

ステップ 8.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x^{4} + 6 x^{3}$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{3}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$

ステップ 8.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

ステップ 8.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

ステップ 8.1.5.7

被除数 $2 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

ステップ 8.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

ステップ 8.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{3} + 3 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

ステップ 8.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

ステップ 8.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

ステップ 8.1.5.12

被除数 $- 10 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

ステップ 8.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							-	$10 x^{2}$	-	$15 x$

ステップ 8.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 10 x^{2} - 15 x$ の符号をすべて変更します。

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

ステップ 8.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

$6 x$

ステップ 8.1.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

$6 x$

$9$

ステップ 8.1.5.17

被除数 $- 6 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$

ステップ 8.1.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									-	$6 x$	-	$9$

ステップ 8.1.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $- 6 x - 9$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									+	$6 x$	+	$9$

ステップ 8.1.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									+	$6 x$	+	$9$
												$0$

ステップ 8.1.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$

ステップ 8.1.6

$4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x + 3) (2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3) = 0$

ステップ 8.2

有理根検定を用いて $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

有理根検定を用いて $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 8.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

ステップ 8.2.1.3

$- 1.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1.5$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.3.1

$- 1.5$ を多項式に代入します。

$2 {(- 1.5)}^{3} + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

ステップ 8.2.1.3.2

$- 1.5$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot - 3.375 + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

ステップ 8.2.1.3.3

$2$ に $- 3.375$ をかけます。

$- 6.75 + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

ステップ 8.2.1.3.4

$- 1.5$ を $2$ 乗します。

$- 6.75 + 2.25 - 5 \cdot - 1.5 - 3$

ステップ 8.2.1.3.5

$- 6.75$ と $2.25$ をたし算します。

$- 4.5 - 5 \cdot - 1.5 - 3$

ステップ 8.2.1.3.6

$- 5$ に $- 1.5$ をかけます。

$- 4.5 + 7.5 - 3$

ステップ 8.2.1.3.7

$- 4.5$ と $7.5$ をたし算します。

$3 - 3$

ステップ 8.2.1.3.8

$3$ から $3$ を引きます。

$0$

ステップ 8.2.1.4

$- 1.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x + 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3}{2 x + 3}$

ステップ 8.2.1.5

$2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ を $2 x + 3$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$3$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

ステップ 8.2.1.5.2

被除数 $2 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$

ステップ 8.2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			+	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

ステップ 8.2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{3} + 3 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

ステップ 8.2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

ステップ 8.2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$

ステップ 8.2.1.5.7

被除数 $- 2 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$

ステップ 8.2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

ステップ 8.2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x^{2} - 3 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 8.2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$

ステップ 8.2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$

ステップ 8.2.1.5.12

被除数 $- 2 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$

ステップ 8.2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							-	$2 x$	-	$3$

ステップ 8.2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x - 3$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							+	$2 x$	+	$3$

ステップ 8.2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							+	$2 x$	+	$3$
										$0$

ステップ 8.2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - x - 1$

ステップ 8.2.1.6

$2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x + 3) ((2 x + 3) (x^{2} - x - 1)) = 0$

ステップ 8.2.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

ステップ 8.3

同類因数をまとめます

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$2 x + 3$ を $1$ 乗します。

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

ステップ 8.3.2

$2 x + 3$ を $1$ 乗します。

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

ステップ 8.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(2 x + 3)}^{1 + 1} (x^{2} - x - 1) = 0$

ステップ 8.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(2 x + 3)}^{2} (x^{2} - x - 1) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(2 x + 3)}^{2} = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

ステップ 10

${(2 x + 3)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

${(2 x + 3)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(2 x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 10.2

$x$ について ${(2 x + 3)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$2 x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 3 = 0$

ステップ 10.2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 x = - 3$

ステップ 10.2.2.2

$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 10.2.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 10.2.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{2}$

ステップ 10.2.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3}{2}$

ステップ 11

$x^{2} - x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x^{2} - x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - x - 1 = 0$

ステップ 11.2

$x$ について $x^{2} - x - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 11.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 1$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.2.3.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.2.3.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

ステップ 11.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.2.4.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.2.4.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

ステップ 11.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

ステップ 11.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.2.5.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.2.5.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

ステップ 11.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 11.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 12

最終解は ${(2 x + 3)}^{2} (x^{2} - x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{3}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \frac{3}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

10進法形式：

$x = - 1.5, 1.61803398 \dots, - 0.61803398 \dots$

帯分数形：

$x = - 1 \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 14

微分積分学準備 例

微分積分学準備例