微分積分学準備例

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = - 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$1 - 3 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

ステップ 4.1.3

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 3 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

ステップ 4.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 3 - 6 \cdot 1 + 6 (- 1) + 8$

ステップ 4.1.5

$- 6$ に $1$ をかけます。

$1 + 3 - 6 + 6 (- 1) + 8$

ステップ 4.1.6

$6$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 3 - 6 - 6 + 8$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ と $3$ をたし算します。

$4 - 6 - 6 + 8$

ステップ 4.2.2

$4$ から $6$ を引きます。

$- 2 - 6 + 8$

ステップ 4.2.3

$- 2$ から $6$ を引きます。

$- 8 + 8$

ステップ 4.2.4

$- 8$ と $8$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8}{x + 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 1)$ の結果を被除数 $(- 3)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$	$- 4$

ステップ 6.5

結果 $(- 4)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(4)$ の結果を被除数 $(- 6)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$	$- 2$

ステップ 6.7

結果 $(- 2)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(2)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

ステップ 6.9

結果 $(8)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 8)$ の結果を被除数 $(8)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 2) x + 8$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8$

ステップ 7

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x + 1) (x^{3} - 4 x^{2}) - 2 x + 8$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x + 1) + x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

$(x + 1) x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

ステップ 8

最大公約数 $x - 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 2)$

ステップ 9

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 9.1

項を再分類します。

$- 3 x^{3} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

ステップ 9.2

$- 3 x$ を $- 3 x^{3} + 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 9.2.1

$- 3 x$ を $- 3 x^{3}$ で因数分解します。

$- 3 x \cdot x^{2} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

ステップ 9.2.2

$- 3 x$ を $6 x$ で因数分解します。

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 2 + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

ステップ 9.2.3

$- 3 x$ を $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 2)$ で因数分解します。

$- 3 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

ステップ 9.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 3 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 6 x^{2} + 8 = 0$

ステップ 9.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 3 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 6 u + 8 = 0$

ステップ 9.5

たすき掛けを利用して $u^{2} - 6 u + 8$ を因数分解します。

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ステップ 9.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $8$ で、その和が $- 6$ です。

$- 4, - 2$

ステップ 9.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 3 x (x^{2} - 2) + (u - 4) (u - 2) = 0$

ステップ 9.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 9.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 9.8

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 9.9

$x^{2} - 2$ を $- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ で因数分解します。

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ステップ 9.9.1

$x^{2} - 2$ を $- 3 x (x^{2} - 2)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 9.9.2

$x^{2} - 2$ を $(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 9.9.3

$x^{2} - 2$ を $(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2))$ で因数分解します。

$(x^{2} - 2) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 9.10

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 9.10.1

分配則を当てはめます。

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

ステップ 9.10.2

分配則を当てはめます。

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

ステップ 9.10.3

分配則を当てはめます。

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

ステップ 9.11

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.11.1

$x \cdot - 2$ と $2 x$ について因数を並べ替えます。

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

ステップ 9.11.2

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

ステップ 9.11.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

ステップ 9.12

各項を簡約します。

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ステップ 9.12.1

$x$ に $x$ をかけます。

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

ステップ 9.12.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

ステップ 9.13

項を並べ替えます。

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

ステップ 9.14

因数分解。

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ステップ 9.14.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 9.14.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $- 3$ です。

$- 4, 1$

ステップ 9.14.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x^{2} - 2) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

ステップ 9.14.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$

ステップ 10

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 11

$x^{2} - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x^{2} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 11.2

$x$ について $x^{2} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 11.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

ステップ 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 11.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 11.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 11.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 12

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 13

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 14

最終解は $(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

10進法形式：

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 4, - 1$

ステップ 16

微分積分学準備 例

微分積分学準備例