微分積分学準備例

$\frac{x^{4} - x^{2} + 4}{x^{3} - x^{2}}$

ステップ 1

筆算での多項式の割算を使って割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

ステップ 1.2

被除数 $x^{4}$ の最高次項を除数 $x^{3}$ の最高次項で割ります。

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{4} - x^{3} + 0 + 0$ の符号をすべて変更します。

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

ステップ 1.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

ステップ 1.7

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{3}$ の最高次項で割ります。

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

ステップ 1.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

ステップ 1.9

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - x^{2} + 0 + 0$ の符号をすべて変更します。

								$x$	+	$1$
$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
							-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
									+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$
									-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$0$	-	$0$

ステップ 1.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

								$x$	+	$1$
$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
							-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
									+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$
									-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$0$	-	$0$
															+	$4$

ステップ 1.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$x + 1 + \frac{4}{x^{3} - x^{2}}$

ステップ 2

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x^{2}$ を $x^{3} - x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{4}{x^{2} x - x^{2}}$

ステップ 2.1.2

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 2.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{4}{x^{2} (x - 1)}$

ステップ 2.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$

ステップ 2.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x^{2} (x - 1)$ です。

$\frac{4 (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.4

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.5

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.5.2

$4$ を $1$ で割ります。

$4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

共通因数を約分します。

$4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.1.2

$A (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$4 = A (x - 1) + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$4 = A x + A \cdot - 1 + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.3

$- 1$ を $A$ の左に移動させます。

$4 = A x - 1 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.4

$- 1 A$ を $- A$ に書き換えます。

$4 = A x - A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.5

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.1

$x$ を $B (x^{2} (x - 1))$ で因数分解します。

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.5.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.5.2.3

共通因数を約分します。

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.5.2.4

式を書き換えます。

$4 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.5.2.5

$B (x (x - 1))$ を $1$ で割ります。

$4 = A x - A + B (x (x - 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.6

分配則を当てはめます。

$4 = A x - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.7

$x$ に $x$ をかけます。

$4 = A x - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.8

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$4 = A x - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.9

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$4 = A x - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.10

分配則を当てはめます。

$4 = A x - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.11

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.12

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.12.1

共通因数を約分します。

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 2.6.12.2

$(C) (x^{2})$ を $1$ で割ります。

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + (C) (x^{2})$

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + C x^{2}$

ステップ 2.7

式を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$B$ を移動させます。

$4 = A x - A + B x^{2} - x B + C x^{2}$

ステップ 2.7.2

$- A$ を移動させます。

$4 = A x + B x^{2} - x B + C x^{2} - A$

ステップ 2.7.3

$- x B$ を移動させます。

$4 = A x + B x^{2} + C x^{2} - x B - A$

ステップ 2.7.4

$A x$ を移動させます。

$4 = B x^{2} + C x^{2} + A x - x B - A$

ステップ 3

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 3.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = B + C$

ステップ 3.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A - 1 B$

ステップ 3.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$4 = - 1 A$

ステップ 3.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$4 = - 1 A$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$4 = - 1 A$

ステップ 4

連立方程式を解きます。

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ステップ 4.1

$4 = - 1 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

方程式を $- 1 A = 4$ として書き換えます。

$- 1 A = 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

ステップ 4.1.2

$- 1 A = 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1 A = 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

ステップ 4.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{A}{1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

ステップ 4.1.2.2.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

ステップ 4.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$4$ を $- 1$ で割ります。

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

ステップ 4.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- 4$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$0 = A - 1 B$ の $A$ のすべての発生を $- 4$ で置き換えます。

$0 = (- 4) - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

ステップ 4.3

$0 = - 4 - B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

方程式を $- 4 - B = 0$ として書き換えます。

$- 4 - B = 0$

$A = - 4$

$0 = B + C$

ステップ 4.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$- B = 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

ステップ 4.3.3

$- B = 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$- B = 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- B}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

ステップ 4.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{B}{1} = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

ステップ 4.3.3.2.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

ステップ 4.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.3.1

$4$ を $- 1$ で割ります。

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

ステップ 4.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $- 4$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$0 = B + C$ の $B$ のすべての発生を $- 4$ で置き換えます。

$0 = (- 4) + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

ステップ 4.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

括弧を削除します。

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

ステップ 4.5

$0 = - 4 + C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

方程式を $- 4 + C = 0$ として書き換えます。

$- 4 + C = 0$

$B = - 4$

$A = - 4$

ステップ 4.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$C = 4$

$B = - 4$

$A = - 4$

$C = 4$

$B = - 4$

$A = - 4$

ステップ 4.6

連立方程式を解きます。

$C = 4 B = - 4 A = - 4$

ステップ 4.7

すべての解をまとめます。

$C = 4, B = - 4, A = - 4$

ステップ 5

$x + 1 + \frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$x + 1 - \frac{4}{x^{2}} - \frac{4}{x} + \frac{4}{x - 1}$

微分積分学準備 例

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